Радиационная обстановка советский атомный проект термоядерное оружие сверхмощный заряд санитарно-защитная зона Организация системы контроля Глобальные радиоактивные осадки Ядерный полигон Справочные материалы


Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды

Определенный интеграл

Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть – непрерывная положительная функция, заданная на отрезке . Фигура, ограниченная кривой прямыми x=a и x=b и осью ОХ, называется криволинейной трапецией (рис.1).

Поставим перед собой задачу вычислить площадь криволинейной трапеции. Для этого разобьем отрезок произвольным образом на n частей. Абсциссы точек деления обозначим . Получим n малых отрезков Обозначим их длины соответственно Для таблично заданной функции (xi, yi) = f(xi), i =0,...,6, решить следующие задачи (далее будем эту функцию обозначать f(x)).

Проведя через точки деления прямые, параллельные оси OY, мы разобьем криволинейную трапецию на n малых криволинейных трапеций. Площадь всей криволинейной трапеции S равна сумме площадей всех малых криволинейных трапеций (рис.2):

или

Но вычислить площади малых криволинейных трапеций не проще, чем площадь большой. Поэтому поступим следующим образом. В каждом из отрезков выберем произвольную точку и каждую малую криволинейную трапецию заменим прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной . Получим – площадь каждой малой криволинейной трапеции приближенно равна площади прямоугольника, а площадь всей криволинейной трапеции приближенно равна площади получившейся ступенчатой фигуры: Некоторые модели управления запасами Предприятия, фирмы имеют различные запасы: сырье, комплектующие изделия, готовую продукцию, предназначенную для продажи, и т.д. Совокупность подобных материалов, представляющих временно не используемые экономические ресурсы, называют запасами предприятия.

Очевидно, чем меньше длины отрезков , тем меньше погрешность этого приближенного равенства, поэтому естественно за точное значение площади криволинейной трапеции принять предел площадей ступенчатых фигур при условии, что наибольшая из длин отрезков разбиения стремится к нулю (следовательно, число отрезков разбиения n стремится к бесконечности):

(1)

Определение определенного интеграла

К нахождению предела сумм, аналогичных сумме (1), приводит целый ряд задач естествознания. Поэтому вполне естественно изучить этот процесс независимо от конкретного содержания задачи.

Пусть на отрезке задана функция . Выполним следующие действия.

1.С помощью точек деления разобьем отрезок на n “малых” отрезков где .

2.В каждом из малых отрезков выберем произвольную точку и умножим значение функции в точке на длину соответствующего отрезка:

3.Составим сумму всех таких произведений: или

(2)

Сумма вида (2) называется интегральной суммой для функции на отрезке .

4.Наибольшую из длин малых отрезков обозначим λ и назовем ее шагом разбиения. Пусть число отрезков разбиения неограниченно растет и . Если при этом интегральная сумма имеет конечный предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на малые отрезки, ни от выбора точек в каждом из них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Таким образом,

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, – отрезком интегрирования (или областью интегрирования).

Функция для которой на отрезке существует определен- ный интеграл называется интегрируемой на этом отрезке.

Имеет место теорема существования определенного интеграла.

Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Возвращаясь к §1, отметим факт, выражающий геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой прямыми и и осью OX. 

Замечания.

1.Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: и т.д.

2.Будем полагать по определению:

3.При введении понятия определенного интеграла мы полагали . В случае примем по определению:

Свойства определенного интеграла

1.

2.

где k=const.

 

.Если отрезок интегрирования разбит на две части и то – свойство аддитивности.

 

Геометрически это значит, что площадь криволинейной трапеции с основанием равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями и (рис.3).

4.Если на отрезке то

5.Если на отрезке то

Геометрически это значит, что криволинейная трапеция, ограниченная кривой имеет большую площадь, чем криволинейная трапеция, ограниченная кривой (рис.4).

6.Теорема о среднем значении.

Если непрерывна на то существует такая точка что

(3)

Геометрически: криволинейная трапеция равновелика прямоугольнику с тем же основанием и высотой, равной (рис.5).

Значение функции в точке ξ, определяемое равенством (3), называется средним значением функции на отрезке : .

Производная интеграла с переменным верхним пределом

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема. Если – какая–либо первообразная для непрерывной функции , то

Доказательство. Пусть –некоторая первообразная функции . Но – также первообразная для , а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:

(4)

Это равенство справедливо для любых . Положим : Но , поэтому , . Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим Переобозначив переменную интегрирования , получим формулу Ньютона – Лейбница:

При вычислении определенных интегралов будем записывать:

Пример1. (геометрически это площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком оси Ox).

Пример2.

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл , где непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с равенством . Если

1)

2) и непрерывны на ,

3) при изменении z от α до β значения не выходят за пределы отрезка то

(5)

Доказательство. Пусть –первообразная для функции , то есть . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

(I)

покажем, что функция является первообразной для функции : =[по правилу дифференцирования сложной функции] = Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

(II)

Сравнивая равенства (I) и (II), убеждаемся в справедливости формулы (5).

Пример.

при x=0 при x=ln2

=

 Интегрирование по частям в определенном интеграле Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид

Функция двух переменных, ее область определения и график Пусть M–некоторое множество пар действительных чисел , L–некоторое множество действительных чисел. Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре чисел соответствует единственное число , при условии, что каждое число соответствует хотя бы одной паре .

Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка

Предел функции двух переменных. Непрерывность

Частные производные Пусть функция определена в области G и точка . Дадим абсциссе приращение , тогда функция z получит приращение , которое называется частным приращением по x функции в точке . Частной производной по x функции в точке называется предел отношения частного приращения по x функции в точке к приращению при стремлении к нулю.

Настоящие методические указания предназначены для всех специ-альностей среднего профессионального образования (СПО), изучающих по дисциплине математика тему "Определённый интеграл" в том или ином объёме. Методические указания написаны в соответствии с требо-ваниями государственных образовательных стандартов в области мате-матики для специалистов СПО.
Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды