Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Радиационная обстановка советский атомный проект термоядерное оружие сверхмощный заряд санитарно-защитная зона Организация системы контроля Глобальные радиоактивные осадки Ядерный полигон Справочные материалы


Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды


Знакопеременные ряды

Определение: Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными числовыми рядами, так как они получаются умножением знакоположительных числовых рядов на (–1).

Изучение знакопеременных рядов начнем с частного случая–знакочередующихся рядов.

Определение: Числовой ряд вида , где – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом. Изменить порядок интегрирования Метод интегрирования по частям

Теорема: (признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

(1)

выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю …>

, то ряд (1) сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда. Задача .

Доказательство: Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

По условию U1>U2>…>U2n–1>U2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S2n возрастает с возрастанием n и S2n > 0 при любом n.

С другой стороны

S2n=U1–[(U2–U3)+(U4–U5)+…+(U2n–2–U2n–1)+U2n]

Выражение в квадратных скобках положительно и S2n>0, поэтому,

S2n<U1 для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный . При этом 0<S£U1, так как S2n<U1.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечетного числа членов ряда

S2n+1=S2n+U2n+1.

Перейдём в последнем равенстве к пределу при n®¥:

Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому , то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Пример: Исследовать на сходимость ряд.

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Замечания.

Теорема Лейбница справедлива и если условие Un>Un+1 выполняется, начиная с некоторого номера N.

Вообще, условие Un>Un+1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется. Например, ряд сходится, как разность двух сходящихся рядов , хотя условие

Un>Un+1 не выполняется.

Теорема: (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда)

Пусть

(2)

знакопеременный ряд. Пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

(3)

Тогда ряд (2) тоже сходится.

Доказательство: Рассмотрим вспомогательный ряд

(4)

Очевидно 0£Un+|Un|£2|Un| при всех n=1,2,3…. Ряд (3) сходится по условию, поэтому сходится ряд и по признаку сравнения сходится ряд (4). Ряд (2) представляет собой разность двух сходящихся рядов (3) и (4), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание:

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходится. Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд –расходится (гармонический ряд)

Остаток ряда и его оценка

Свойства степенных рядов

Методические указания содержат всю основную информацию по те-ме "Определённый интеграл". Поэтому указания могут широко исполь-зоваться студентами: - на практических занятиях; - для самостоятельного изучения материала; - для выполнения индивидуального задания; - для подготовки к зачету; - для подготовки к экзамену и т. д.
Примеры вычисления интегралов, задачи на ряды