Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Деление отрезка в данном отношении

Говорят, что точка  делит отрезок  в отношении , если , или  (рис. 13). Построение решений СЛУ. Теорема Кронекера-Капелли устанавливает совместимость СЛУ, но не дает практического рецепта их нахождения.

Рис. 13

Пусть координаты точек и  известны: , . Найдем координаты точки . Очевидно, что , где , . Приравнивая координаты векторов, найдем:

, , . (2.6)

В частности, если – середина отрезка , то , тогда

, , . (2.7)

Пример 10. Доказать, что точки  и  лежат в одной плоскости.

Решение. Достаточно показать, что векторы  и компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю. ;

.

Пример 11. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах ,,. Правой или левой является тройка векторов ,,?

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов:

.

, значит, векторы образуют левую тройку; .

Вопросы для самоконтроля

1. Какие векторы называются равными?

2. Правило сложения любого числа векторов.

3. Какие векторы называются противоположными?

4. Какие векторы называются коллинеарными?

5. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов?

6. Понятие прямоугольного базиса. Разложение вектора по базису

7. Понятие координат вектора.

8. Как найти координаты вектора, заданного координатами точек — начала и

конца этого вектора?

9. Чему равна длина (модуль) вектора, заданного своими координатами?

10. К чему сводятся линейные операции над векторами, заданными своими коор-

динатами?

11. Условие коллинеарности двух векторов, заданными своими координатами.

12. Определение скалярного произведения двух векторов. Его свойства.

13. Когда скалярное произведение двух векторов больше нуля, меньше нуля?

14. Условие перпендикулярности двух векторов?

15. Выражение скалярного произведения через координаты векторов?

16. Нахождение угла между двумя векторами.

17. Что такое вектор, и какие линейные операции над векторами можно произвести?

18. Что такое базис, и сколько базисов существует в множестве всех векторов

пространства?

Сколько разложений по данному базису имеет данный вектор?

Зависят ли координаты от выбора базиса?

Определяются ли координаты однозначно выбором базиса?

Что такое скалярное произведение векторов и его основные свойства?

Как определить угол между векторами? Каковы условия коллинеарности и

ортогональности векторов?

 Каковы геометрическое и механическое приложения векторного произведения

векторов?

 Каково геометрическое приложение смешанного произведения векторов?

Чему равно смешанное произведение трех компланарных векторов?

 


Скалярное произведение векторов