Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Направляющие косинусы вектора

Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат (рис. 12). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: , , .

 

Рис. 12 Смешанное произведение векторов

Из свойств проекций: , , . Следовательно,

, , . (2.5)

Легко показать, что

1)     ;

2)     координаты любого единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами: .

Пример 8. Упростить выражение .

Решение. На основании свойств векторного произведения получим , но , тогда 

.

Пример 9. В треугольнике с вершинами  найти длину высоты .

 Решение. , откуда , где . Найдем координаты векторов: .

Тогда

 

, то есть ;

, следовательно, .

 

Смешанное произведение векторов

Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Пусть известны координаты векторов: ,. Векторное произведение векторов и – это вектор с координатами 

.

Скалярное произведение вектора  на вектор 

Таким образом,

.                                                (2.11)

Нетрудно показать, что .  

Отложим данные некомпланарные векторы  от общего начала и построим на них как на ребрах параллелепипед (рис. 18).

Рис. 18

По определению скалярного произведения  , где – угол между векторами  и . Но  – площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , а , где  – высота параллелепипеда. Таким образом, .

Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: .

Объем тетраэдра, построенного на векторах  (рис. 19) равен .

Рис. 19

Заметим, что если векторыобразуют правую тройку, то  и`, а если левую, то  и .

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы  компланарны. Можно считать, что они лежат в одной плоскости. Тогда вектор  перпендикулярен этой плоскости, следовательно, ,

а значит, их скалярное произведение равно нулю, то есть .

Достаточность. Пусть . Предположим, что векторы некомпланарны. Но тогда существует параллелепипед, построенный на этих векторах, объем которого , а это противоречит условию. Следовательно, предположение неверно, и векторы компланарны.

 


Скалярное произведение векторов