Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Координаты вектора

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим , ,  – единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве.

Пусть  – произвольный вектор в пространстве. Перенесем его начало в точку O ( ) и построим прямоугольный параллелепипед, в котором вектор  является диагональю (рис. 11). Тогда , где , , – составляющие вектора  по осям Ox, Oy, Oz. Но , аналогично ,

.

 

Рис. 11

Обозначая , , , получим . Свойства векторного произведения.

Это равенство называется разложением вектора  по базису , , , а числа , ,  называются координатами вектора  в этом базисе, или декартовыми прямоугольными координатами вектора. Пишут  или .

Таким образом, прямоугольные декартовы координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси координат.

Зная координаты вектора, легко выразить его длину:

 (2.2)

(квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений).

Если , где , , то , , . Тогда , или

  (2.3)

так выражаются координаты вектора через координаты его начала и конца.

Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует:

если , , , то

1) , , – равные векторы имеют соответственно равные координаты;

2)  – при сложении векторов их координаты складываются, при вычитании – вычитаются;

3)  – при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;

4) , , , то есть   (2.4)

координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Пример 6. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах  и .

Решение. Диагоналями параллелограмма являются векторы  и  (см. рис. 5). Тогда , следовательно,  – угол между диагоналями равен .

Пример 7. Дано: . Вычислить – длину вектора .

Решение. Из свойства (5) скалярного произведения ; но , следовательно, .

 

Векторное произведение векторов

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой (начала векторов тройки предполагаются совмещенными).

Так, на рис. 16 тройка  – правая, а тройка – левая (из конца вектора  кратчайший поворот от  к  виден по часовой стрелке).

Рис. 16

Векторным произведением двух векторов называется вектор, который обозначается  или и определяется следующим образом: 

1)     где  – длина этого вектора равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними;

2)     `,` – этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов;

3)     векторы  образуют правую тройку.

Из условия (1) следует, что модуль вектора` численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и  как на сторонах (рис 17): .

Рис. 17

Из физики известно: если  – сила, приложенная к точке М, то момент  этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов  и .

Свойства векторного произведения:

1)     ;

2)     ;

3)     ;

4)     , или , или ;

4a) .

Заметим, что из определения и свойств следует: 

.

Пусть известны координаты векторов  и . Тогда 

=[по свойствам 2, 3]

 [на основании замечания]

.

Таким образом,

.          


Скалярное произведение векторов