Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Координаты вектора

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxyz. Обозначим , ,  – единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox, Oy, Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве.

Пусть  – произвольный вектор в пространстве. Перенесем его начало в точку O ( ) и построим прямоугольный параллелепипед, в котором вектор  является диагональю (рис. 11). Тогда , где , , – составляющие вектора  по осям Ox, Oy, Oz. Но , аналогично ,

.

 

Рис. 11

Обозначая , , , получим . Свойства векторного произведения.

Это равенство называется разложением вектора  по базису , , , а числа , ,  называются координатами вектора  в этом базисе, или декартовыми прямоугольными координатами вектора. Пишут  или .

Таким образом, прямоугольные декартовы координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси координат.

Зная координаты вектора, легко выразить его длину:

 (2.2)

(квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений).

Если , где , , то , , . Тогда , или

  (2.3)

так выражаются координаты вектора через координаты его начала и конца.

Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует:

если , , , то

1) , , – равные векторы имеют соответственно равные координаты;

2)  – при сложении векторов их координаты складываются, при вычитании – вычитаются;

3)  – при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;

4) , , , то есть   (2.4)

координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Пример 6. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах  и .

Решение. Диагоналями параллелограмма являются векторы  и  (см. рис. 5). Тогда , следовательно,  – угол между диагоналями равен .

Пример 7. Дано: . Вычислить – длину вектора .

Решение. Из свойства (5) скалярного произведения ; но , следовательно, .

 

Векторное произведение векторов

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой (начала векторов тройки предполагаются совмещенными).

Так, на рис. 16 тройка  – правая, а тройка – левая (из конца вектора  кратчайший поворот от  к  виден по часовой стрелке).

Рис. 16

Векторным произведением двух векторов называется вектор, который обозначается  или и определяется следующим образом: 

1)     где  – длина этого вектора равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними;

2)     `,` – этот вектор перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов;

3)     векторы  образуют правую тройку.

Из условия (1) следует, что модуль вектора` численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах  и  как на сторонах (рис 17): .

Рис. 17

Из физики известно: если  – сила, приложенная к точке М, то момент  этой силы относительно точки А равен векторному произведению векторов  и .

Свойства векторного произведения:

1)     ;

2)     ;

3)     ;

4)     , или , или ;

4a) .

Заметим, что из определения и свойств следует: 

.

Пусть известны координаты векторов  и . Тогда 

=[по свойствам 2, 3]

 [на основании замечания]

.

Таким образом,

.          


Скалярное произведение векторов