Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Проекция вектора на ось

Углом между двумя ненулевыми векторами  и  называется наименьший угол ( ), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Предварительно нужно привести векторы к общему началу О (рис. 7).

Рис. 7

Под углом между вектором  и осью  понимают угол между векторами  и  (рис. 8).

Рис. 8 Обратные матрицы Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.

Пусть  – некоторая ось, а  – вектор, произвольно распо-ложенный в пространстве. Обозначим  и  – проекции на ось  соответственно начала А и конца В этого вектора (рис. 9). Вектор называется составляющей вектора  по оси .

 

Рис. 9

Проекцией вектора  на ось  (обозначается пр ) называется длина его составляющей  по этой оси, взятая со знаком «плюс», если , и со знаком «минус», если .

Очевидно, что пр , если вектор  образует острый угол с осью ; пр , если этот угол тупой; пр , если .

Если известны координаты точек  и  на оси: , , то пр .

Нетрудно доказать свойства проекций:

1)     Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

2)     пр пр пр .

3)     пр aпр , .

4)     пр , где  – угол между вектором и осью.

Заметим, что проекция вектора на ось и его составляющая связаны соотношением сост пр .

Пример 4. Даны вершины треугольника . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт вектора  (рис. 14).

Решение. AD – медиана, следовательно, D – середина 
отрезка BC, ее координаты находятся по формулам (2.7): 
, то есть . Медианы точкой пересечения K делятся в отношении 2:1, значит, , тогда по формулам (2.6) найдем координаты точки K: . Таким образом, точка пересечения медиан – . Найдем координаты вектора  по формуле (2.3) и его длину по формуле (2.2): . Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами. По формулам (2.5) , следовательно,  – орт вектора .

Рис. 14

 

Пример 5. Показать, что точки  лежат на одной прямой, причем A – между B и C.

Решение. Рассмотрим векторы  и (рис. 15). Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то векторы  и должны быть кол-линеарны (условие 2.4). А если точка A лежит между B и C, то  и должны быть сонаправлены (коэффициент пропорциональности координат ) и . Проверим выполнение этих условий.

, следовательно,

. Координаты вектора  больше, значит, он длиннее и точка A лежит между B и C.

Рис. 15

 


Скалярное произведение векторов