Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Умножение вектора на число. Произведением вектора  на действительное число  называется вектор  (обозначают ), определяемый следующими условиями:

1)     ,

2)      при  и  при .

Очевидно, что при   .

Построим, например, векторы  и  для заданного вектора  (рис. 6).

Рис. 6

Из определения следует: два вектора  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство :

 (2.1)

Свойства линейных операций:

1)     ;

2)     ;

3)     ; ;

4)     ;

5)     ;

6)     ;

7)     ; ;

Пусть дан вектор . Ортом вектора  (обозначается ) называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором .

Очевидно, для любого вектора .

Направляющие косинусы вектора

Направление вектора в пространстве определяется углами , которые вектор образует с осями координат (рис. 12). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора: .

Рис. 12

Из свойств проекций:. Следовательно,

.                                       (2.5)

Легко показать, что

1)     ;

2)     координаты любого единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами: .

 

Деление отрезка в данном отношении

Говорят, что точка  делит отрезок  в отношении , если , или  (рис. 13).

Рис. 13

Пусть координаты точек и  известны: . Найдем координаты точки . Очевидно, что , где . Приравнивая координаты векторов, найдем:

.                              (2.6)

В частности, если – середина отрезка , то , тогда

.                                  (2.7)

 


Скалярное произведение векторов