Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Взаимное расположение прямой и плоскости

Пусть плоскость a задана уравнением    – ее нормальный вектор, а прямая  задана уравнениями    – направляющий вектор прямой. Обозначим  – угол между прямой и плоскостью,  – угол между соответствующими векторами (рис.46). Очевидно,  а  или  Но  тогда синус угла между прямой и плоскостью можно найти по формуле

(2.39)

Рис. 46

Если  то  (рис. 47), то есть  или

(2.40)

         условие параллельности прямой и плоскости. При этом же условии прямая лежит в плоскости.

Рис. 47

Если  то (рис. 48), то есть  – условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Аналитическая геометрия

Плоскость в пространстве

Пусть Мо(хо, уо, zо) – заданная точка в плоскости a,  = (А; В; С) – вектор, перпендикулярный плоскости a, его называют нормальным векторомплоскости, и пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости (рис. 43). Тогда   то есть

(2.28)

(2.28) – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Рис. 43

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые, получим  Обозначим  уравнение примет вид

(2.29)

(2.29) – общее уравнение плоскости.

Если в этом уравнении А, В, С, Д ¹ 0, то его можно привести к виду

(2.30)

(2.30) – уравнение плоскости в отрезках (аналогично (2.14)). Здесь а, в, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

Пусть заданы три точки в плоскости: М1(х1, у1, z1), М2(х2, у2, z2), М3(х3, у3, z3), и пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости (рис.44). Тогда    Эти векторы компланарны (лежат в одной плоскости), следовательно, их смешанное произведение равно нулю: или через координаты

(2.31)

(2.31) – уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Рис. 44


Скалярное произведение векторов