Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Расстояние от точки до плоскости

Если  – заданная точка и  – уравнение плоскости a, то расстояние от точки Мо до плоскости a определяется по формуле:

(2.33)

(доказывается аналогично (2.21)).

Прямая в пространстве

Прямую в пространстве можно задать уравнениями, аналогичными уравнениям прямой на плоскости:

(2.34)

– канонические уравнения, здесь хо, уо, zо – координаты заданной точки на прямой, а m, n, p – координаты направляющего вектора прямой (вектора, параллельного прямой);

(2.35)

– параметрические уравнения прямой;

(2.36)

– уравнения прямой, проходящей через две данные точки М11, у1, z1) и М22, у2, z2).

Прямую в пространстве можно задать также как линию пересечения двух плоскостей. Если уравнения этих плоскостей  и  где    – их нормальные векторы, то уравнения прямой (их линии пересечения) имеют вид

(2.37)

(2.37) – общие уравнения прямой в пространстве.

Для нахождения какой-нибудь точки на этой прямой достаточно придать одной из переменных конкретное числовое значение (например, х = 0), подставить его в систему (2.37) и решить ее относительно двух оставшихся переменных.

Направляющий вектор прямой (2.37) можно найти как векторное произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей:

Пример 14. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки  и  Написать его уравнение, найти эксцентриситет.

Решение. Координаты точек М и А должны удовлетворять уравнению (2.22):  Решив систему, получим  тогда уравнение эллипса   

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы F1, F2, расстояние между ними – 2с, постоянную из определения – 2а (по условию 2а < 2с, а < с). Выберем систему координат так же, как при выводе уравнения эллипса (см. рис. 28).

По определению  или 

Обозначив  и разделив обе части на а2в2, получим каноническое уравнение гиперболы:

(2.23)

Кривая симметрична относительно осей координат, так как уравнение содержит только четные степени х, у. В первой координатной четверти уравнение имеет вид  х ³ а; при возрастании х от а до +¥ у возрастает от 0 до +¥. Учитывая симметрию, можно сделать вывод о форме гиперболы (рис. 30).

Рис. 30

Полагая в каноническом уравнении у = 0, найдем точки пересечения гиперболы с осью ОХ: х = ±а. При х = 0 уравнение не имеет решений, то есть с осью ОУ гипербола не пересекается. Точки А1(-а; 0) и А2(а; 0) называются вершинами гиперболы. Фокальная ось (ось, на которой лежат фокусы) называется действительной осью гиперболы, а перпендикулярная ей ось – мнимой осью. Действительной осью называется также отрезок А1А2 и его длина 2а. Отрезок, соединяющий точки В1(0; -в) и В2(0; в), а также его длина 2в называются мнимой осью гиперболы. Числа а и в называются соответственно действительной и мнимой полуосями.

Отношение  называется эксцентриситетом гиперболы. e > 1.

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение полуосей гиперболы, то есть тем сильнее вытянут ее основной прямоугольник относительно фокальной оси 

Рассмотрим часть гиперболы, расположенную в первой четверти:  Покажем, что точки этого графика, расположенные на достаточно большом расстоянии от начала координат, сколь угодно близки к прямой  Пусть М(х, у) и N(х, У) – точки с одной и той же абсциссой, лежащие соответственно на гиперболе и на прямой  (рис. 31). Рассмотрим разность ординат этих точек:

Рис. 31

Очевидно, что при неограниченном возрастании х эта разность стремится к нулю, то есть точки М и N неограниченно сближаются. Из симметрии гиперболы относительно осей координат следует, что этим же свойством обладает прямая  Прямые  и  называютсяасимптотами гиперболы.

На рисунке 32 показано, как с помощью основного прямоугольника гиперболы (это прямоугольник со сторонами длиной 2а и 2в, параллельными осями координат) построить асимптоты гиперболы. Из рисунка видно также взаимное расположение гиперболы и ее асимптот.

Рис. 32


Скалярное произведение векторов