Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Неполные уравнения плоскостей

Если в уравнении плоскости  какие-либо из коэффициентов равны нулю, то получится неполное уравнение плоскости.

Пусть, например,  Уравнение имеет вид  и определяет плоскость, проходящую через начало координат (координаты точки О(0; 0; 0) удовлетворяют уравнению).

Пусть  Уравнение имеет вид  и определяет плоскость, параллельную оси Оz или проходящую через ось Оz при  Действительно, тогда  то есть  а плоскость

Пусть  Уравнение имеет вид  и определяет плоскость, параллельную плоскости Оуz или совпадающую с ней при  Действительно,  то есть  а плоскость  или

Аналогично можно рассмотреть другие случаи.

Угол между двумя плоскостями

Пусть плоскости a1 и a2 заданы соответственно уравнениями    где   и  – нормальные векторы этих плоскостей (рис. 45). Очевидно,  тогда косинус угла между плоскостями

(2.32)

Рис. 45

Если  то  – условие параллельности плоскостей.

Если  то  то есть  – условие перпендикулярности плоскостей.

Кривые второго порядка

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат х, у.

Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы F1, F2, расстояние между ними – 2с, постоянную из определения – 2а (по условию 2а > 2с, то есть а > с). Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось ОХ проходила через фокусы и точка О находилась на середине отрезка F1F2. В такой системе координат F1(-с; о), F2(с; о) (рис. 28).

Рис. 28

Выведем уравнение эллипса в выбранной системе координат. Для этого рассмотрим произвольную точку эллипса М(х, у).

По определению  

Но  следовательно,  Преобразуем это уравнение, дважды возводя в квадрат обе части:



Обозначим  Разделив обе части на а2в2, получим каноническое уравнение эллипса:

(2.22)

Уравнение содержит только четные степени х, у, следовательно, кривая симметрична относительно осей координат. В первой координатной четверти уравнение имеет вид  при возрастании х от 0 до а у убывает от в до 0. Учитывая симметрию, можно сделать вывод о форме эллипса (рис. 29).

Рис. 29

Оси симметрии эллипса называются осями эллипса, точка их пересечения 0 – центром эллипса. Ось, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точки пересечения эллипса с осями называются вершинами эллипса (А1, А2, В1, В2). Отрезки А1А2 и В1В2, а также их длины 2а и 2в называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа а и в называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси называется эксцентриситетом эллипса. e < 1.

Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем меньше эксцентриситет, тем меньше его малая полуось в отличается от большой полуоси а, то есть тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси 


Скалярное произведение векторов