Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Пример. Найти полярное уравнение окружности

Решение. Запишем уравнение в виде  или  Воспользуемся формулами (2.25):      – искомое уравнение.

 

Плоскость в пространстве

Пусть Моо, уо, zо) – заданная точка в плоскости a,  = (А; В; С) – вектор, перпендикулярный плоскости a, его называют нормальным вектором плоскости, и пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости (рис. 43). Тогда    то есть

(2.28)

(2.28) – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Рис. 43

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые, получим  Обозначим   уравнение примет вид

(2.29)

(2.29) – общее уравнение плоскости.

Если в этом уравнении А, В, С, Д ¹ 0, то его можно привести к виду

(2.30)

(2.30) – уравнение плоскости в отрезках (аналогично (2.14)). Здесь а, в, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

Пусть заданы три точки в плоскости: М11, у1, z1), М22, у2, z2), М33, у3, z3), и пусть М(х, у, z) – произвольная точка плоскости (рис.44). Тогда      Эти векторы компланарны (лежат в одной плоскости), следовательно, их смешанное произведение равно нулю: или через координаты

(2.31)

(2.31) – уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Рис. 44

Примеры решения задач.

1. ABCD – параллелограмм, O – его центр, M, N, P, Q – середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Векторы = и = выбраны в качестве базисных. Найти координаты вектора в базисе {, }.

Решение. По правилу треугольника  = + ; = , а по

правилу параллелограмма сложения векторов = + = + . Поэтому  = (+ ) + = + . Значит, .

Ответ: .

2. Даны координаты векторов (17, 0) и (–1, 1) в ортонормированном базисе. Найти такое l, при котором вектор = +l имеет абсолютную величину || = 25 (если решений два, то достаточно взять одно из них). Найти единичный вектор, коллинеарный .

Решение. Вектор = +l· имеет координаты (17 – l, 0 + l). Находим его длину и приравниваем ее к 25. Получаем квадратное уравнение относительно неизвестного l:

 (17 – l)2 + l2 = 625,

 2l2 – 34l + 289 = 625 Û 2l2 – 34l – 336 = 0, Û

 Û l2 – 17l – 168 = 0.

Решая его, находим  l1= – 7; l2= 24. Поскольку по условию достаточно найти только одно решение, ограничиваемся l1= – 7. Тогда находим координаты вектора (24, 7). И, чтобы получить единичный вектор ‌|| , мы делим координаты вектора на длину этого вектора, т.е. на 25: .

Ответ: l1= – 7, .

3. Даны координаты вектора (–2, –2) в декартовой системе координат. Вычислить координаты вектора , полученного из пов оротом: a) на угол a=120o,  б) на угол b=90°. Пусть = . Вычислить полярные координаты точки A , если полярная ось совпадает с Ox.

Решение. Координаты вектора (x¢, y¢), полученного из вектора (x, y) поворотом на угол a, вычисляются по формулам:

x¢= x·cos a – y·sin a ,

 y¢= x·sin a + y·cos a .

(Не путать с формулами, по которым изменяются координаты данного вектора при повороте координатных осей!)

а) В нашем случае имеем cos a = – , sin a = .

x¢= – (–2) + 2· = 2,

 y¢= –2· – 2·(– ) = –2 .

б) Имеем sin 90°=1; cos 90°= 0 и по тем же формулам находим  (2,–2).

Если известны декартовы координаты точки А(x, y), то ее полярные координаты (r, φ) находятся по формулам:

r = ,

 cs j = , sin j = .

Декартовы координаты точки А совпадают с координатами ее радиус-вектора  . Поэтому А(–2,–2). Отсюда находим r = 4; cos j = – ; sin j = – . Значит j = . А(4, ).

Ответ:  а) (2,–2); б) (2,–2); А(4, ).

4. Даны координаты двух вершин A(3,-2), B(8, 5) квадрата ABCD. Найти координаты двух других вершин.

Решение. Находим (5, 7). Вектор может быть получен из поворотом на 90о, либо на –90о. Таким образом, задача имеет два решения.

Так же, как и в предыдущей задаче находим, что (–7, 5), либо (7,–5). Для того, чтобы найти координаты точки D надо к координатам точки A прибавить координаты вектора  : D(- 4, 3). Далее используем, что = и находим коорд инаты C(1, 10). Второй ответ ищется аналогично.

Ответ: C(1, 10), D(– 4, 3), C¢(15, 0), D¢(10,–8).

 


Скалярное произведение векторов