Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Пример. Дано полярное уравнение линии  Построить эту линию по точкам. Найти ее декартово уравнение, расположив систему Охy так, как показано на рис.40

Решение. Выражение в правой части имеет смысл при sin2j ³ 0, то есть  и  Учитывая периодичность функции (период Т = p), достаточно рассмотреть  Составим таблицу значений функции, ограничиваясь точностью 0,01:

j

0

0

2,12

2,79

3

2,79

2,12

0

Проведем лучи, соответствующие выбранным значениям j, и на каждом из них отложим вычисленное значение r. Полученные точки соединим плавной кривой (рис. 42). Построенная линия называется лемнискатой Бернулли. Чтобы перейти к декартовым координатам, запишем уравнение в виде  и воспользуемся формулами (2.26) и (2.27):      – уравнение линии в декартовой системе координат.

Рис. 42

Общее преобразование координат в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две совершенно произвольные аффинные системы координат с общим началом, R = {O, , , } и R ¢ = {O, , , } – реперы, с помощью которых они определяются. Пусть – произвольный вектор, (x1, x2, x3) – его координаты в первой СК, ( , x2¢ , x3¢ ) – во второй. Будем называть (x1, x2, x3) старыми координатами вектора , а ( , x2¢ , x3¢ ) – новыми его координатами.

Найдем связь между этими координатами. Пусть нам известно разложение базисных векторов второго базиса B ¢ = { , , } по первому базису B = { , , } :

= с11 + с21 + с31 ,

 = с12 + с22 + с32 , (20)

= с13 + с23 + с33 .

Составим из коэффициентов этого разложения матрицу, выписывая коэффициенты разложения из каждой строки в столбец с тем же номером:

с11 с12 с13

 С = с21 с22 с23 

 с31 с32 с33  .

Эта матрица называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. Имеем:

 = x1 + x2 + x3 

 = x1¢  + x2¢ + x3¢ .

Подставим в последнее равенство выражения (20):

 = x1¢ (с11 + с21 + с31) + x2¢ (с12 + с22 + с32 ) + x3¢  (с13 + с23 + с33 ).

Раскроем скобки и сгруппируем коэффициенты при одинаковых векторах:

 = (с11x1¢ + с12 x2¢ + с13 x3¢ ) + (с21 + с22 x2¢  + с23x3¢ ) + (с31 + с32x2¢  + с33 x3¢ ) .

Сравниваем с (*), и в силу единственности разложения вектора по базису, получаем

x1= с11x1¢  + с12 x2¢ + с13 x3¢ ,

 x2 = с21 + с22 x2¢  + с23x3¢ , (21)

 x3 = с31 + с32x2¢  + с33 x3¢ .

Если использовать столбцы, составленные из координат

x1 x1¢ 

 X = x2 X ¢ = x2¢ 

 x3 , x3¢  ,

То систему (21) можно переписать в виде одного матричного равенства:

 X = CX ¢ (21¢ )

 Þ X ¢= C –1X , (22)

т.е. для того, чтобы найти новые координаты вектора по старым, необходимо выписать формулы, аналогичные (21), только в качестве коэффициентов будут использованы элементы матрицы C –1, а штрихи у координат будут стоять в левых частях равенств. Можно решить систему уравнений  (21) относительно неизвестных x1¢  , x2¢ , x3¢ и мы получим те же формулы.

К сожалению, не всегда к моменту изучения этого параграфа студенты успевают пройти по алгебре произведение матриц и обратную матрицу. Но ко времени экзамена этот материал обязательно должен быть пройден. Необходимые пояснения будут даны на практических занятиях по геометрии.

Координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, поэтому они пересчитываются по тем же формулам (21¢) и (22). Заметим, что все рассуждения, приведенные при выводе формул (17) и (17¢) верны и для произвольной аффинной СК. Поэтому в случае переноса начала координат в точку  O¢(a, b, c) координаты точки пересчитываютcя по формулам

x1= x1¢  + a, x1¢ = x1 – a,

 x2 = x2¢ + b, (22) x2¢  = x2 – b, (22¢)

 x3 = x3¢ + c. x3¢  = x3 – c.

Все сказанное выше верно и для преобразования аффинной СК на плоскости.


Скалярное произведение векторов