Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Пример. Дано полярное уравнение линии  Построить эту линию по точкам. Найти ее декартово уравнение, расположив систему Охy так, как показано на рис.40

Решение. Выражение в правой части имеет смысл при sin2j ³ 0, то есть  и  Учитывая периодичность функции (период Т = p), достаточно рассмотреть  Составим таблицу значений функции, ограничиваясь точностью 0,01:

j

0

0

2,12

2,79

3

2,79

2,12

0

Проведем лучи, соответствующие выбранным значениям j, и на каждом из них отложим вычисленное значение r. Полученные точки соединим плавной кривой (рис. 42). Построенная линия называется лемнискатой Бернулли. Чтобы перейти к декартовым координатам, запишем уравнение в виде  и воспользуемся формулами (2.26) и (2.27):      – уравнение линии в декартовой системе координат.

Рис. 42

Общее преобразование координат в пространстве.

Пусть в пространстве заданы две совершенно произвольные аффинные системы координат с общим началом, R = {O, , , } и R ¢ = {O, , , } – реперы, с помощью которых они определяются. Пусть – произвольный вектор, (x1, x2, x3) – его координаты в первой СК, ( , x2¢ , x3¢ ) – во второй. Будем называть (x1, x2, x3) старыми координатами вектора , а ( , x2¢ , x3¢ ) – новыми его координатами.

Найдем связь между этими координатами. Пусть нам известно разложение базисных векторов второго базиса B ¢ = { , , } по первому базису B = { , , } :

= с11 + с21 + с31 ,

 = с12 + с22 + с32 , (20)

= с13 + с23 + с33 .

Составим из коэффициентов этого разложения матрицу, выписывая коэффициенты разложения из каждой строки в столбец с тем же номером:

с11 с12 с13

 С = с21 с22 с23 

 с31 с32 с33  .

Эта матрица называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. Имеем:

 = x1 + x2 + x3 

 = x1¢  + x2¢ + x3¢ .

Подставим в последнее равенство выражения (20):

 = x1¢ (с11 + с21 + с31) + x2¢ (с12 + с22 + с32 ) + x3¢  (с13 + с23 + с33 ).

Раскроем скобки и сгруппируем коэффициенты при одинаковых векторах:

 = (с11x1¢ + с12 x2¢ + с13 x3¢ ) + (с21 + с22 x2¢  + с23x3¢ ) + (с31 + с32x2¢  + с33 x3¢ ) .

Сравниваем с (*), и в силу единственности разложения вектора по базису, получаем

x1= с11x1¢  + с12 x2¢ + с13 x3¢ ,

 x2 = с21 + с22 x2¢  + с23x3¢ , (21)

 x3 = с31 + с32x2¢  + с33 x3¢ .

Если использовать столбцы, составленные из координат

x1 x1¢ 

 X = x2 X ¢ = x2¢ 

 x3 , x3¢  ,

То систему (21) можно переписать в виде одного матричного равенства:

 X = CX ¢ (21¢ )

 Þ X ¢= C –1X , (22)

т.е. для того, чтобы найти новые координаты вектора по старым, необходимо выписать формулы, аналогичные (21), только в качестве коэффициентов будут использованы элементы матрицы C –1, а штрихи у координат будут стоять в левых частях равенств. Можно решить систему уравнений  (21) относительно неизвестных x1¢  , x2¢ , x3¢ и мы получим те же формулы.

К сожалению, не всегда к моменту изучения этого параграфа студенты успевают пройти по алгебре произведение матриц и обратную матрицу. Но ко времени экзамена этот материал обязательно должен быть пройден. Необходимые пояснения будут даны на практических занятиях по геометрии.

Координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, поэтому они пересчитываются по тем же формулам (21¢) и (22). Заметим, что все рассуждения, приведенные при выводе формул (17) и (17¢) верны и для произвольной аффинной СК. Поэтому в случае переноса начала координат в точку  O¢(a, b, c) координаты точки пересчитываютcя по формулам

x1= x1¢  + a, x1¢ = x1 – a,

 x2 = x2¢ + b, (22) x2¢  = x2 – b, (22¢)

 x3 = x3¢ + c. x3¢  = x3 – c.

Все сказанное выше верно и для преобразования аффинной СК на плоскости.


Скалярное произведение векторов