Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Пример. Построить в полярной системе координат точки

Решение. Построение точек показано на рис. 41

Рис. 41

Пример 18. Какие линии определяются уравнениями r = а(const) и j = a(const)?

Решение. Геометрическое место точек, для которых r – расстояние от полюса – постоянно, есть окружность, поэтому уравнение r = а определяет окружность радиуса а с центром в полюсе 0. Уравнение j = a определяет луч, выходящий из полюса под углом a к полярной оси.

Сферические координаты можно использовать для введения внутренних координат на сфере. Если начало координат поместить в центр сферы радиуса r, то j  и y будут играть роль географических долготы и широты точки M, лежащей на сфере; пишем M(j, y). Точно также цилиндрические координаты позволяют ввести внутренние координаты на поверхности цилиндра. Если начало координат разместить на оси цилиндра радиуса r, то j и z будут координатами точки M, лежащей на поверхности цилиндра; пишем M(j, z).

 


Ни в коем случае не следует путать сферические и цилиндрические координаты в пространстве с внутренними координатами на сфере и цилиндрической поверхности. Очень распространена на экзамене ошибка, когда вместо первого рисунка в этом параграфе рисуют второй и третий. 

 

Преобразование координат.

Пусть на плоскости заданы две декартовы системы координат Oxy и O¢x¢y¢, у которых направления координатных осей совпадают, но начальные точки O и O¢ разные. Говорим, что вторая СК получена из первой переносом начала координат в точку O¢.

Пусть нам известны координаты точки O¢ относительно первой СК: O¢(a, b). Пусть M – произвольная точка на плоскости, (x, y) – ее координаты относительно первой СК, (x¢, y¢) – относительно второй СК. Найдем связь между этими координатами.

По определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Поэтому

(a, b), (x, y), (x¢, y¢).

По правилу треугольника сложения векторов

 = + .

Отсюда

x = x¢ + a, x¢ = x – a, 

 y = y¢ + b. y¢= y – b.

Аналогично, если в пространстве мы совершим перенос начала координат в точку O¢(a, b, c), то к

формулам (17) и (17¢ ) только добавятся равенства z¢= z + c и z = z¢+ c .

Заметим, что все наши рассуждения справедливы и в случае переноса начала произвольной аффинной СК.

Пусть теперь на плоскости заданы две декартовы СК с общим началом: Oxy и Ox¢y¢. Пусть a – ориентированный угол между положительными направлениями осей  Ox и Ox¢. Тогда говорим, что вторая СК получена из первой поворотом на угол a. Пусть M – произвольная точка на плоскости, (x, y) – ее координаты относи-

тельно первой СК, ( x¢, y¢) – относительно второй СК.

Найдем связь между этими координатами. Пусть  j – ориентированный угол между положительным направлением оси Ox и вектором , а y – между Ox¢ и . Тогда j = y + a . Обозначим r =½OM½. Тогда

Подпись: Þ x = r cos j , x¢= r cos y,

 y = r sin j .  y¢= r sin y

x = r cos (y + a) = r cos y ×cos a – r sin y×sin a = x¢×cos a – y¢×sin a

 y = r sin (y + a) = r cos y ×sin a + r sin y×cos a = y¢×sin a + y¢×cos a.

Итак,

 x = x¢×cos a – y¢×sin a

 y = x¢×sin a + y¢×cos a.

Поскольку вторая СК может быть получена из первой поворотом на угол – a, то с учетом cos(-a) = cos a, sin(-a) = – sin a , из (18) получаем

x¢= x ×cos a + y×sin a

 y¢= – x ×sin a + y×cos a.

Если в пространстве совер-шается поворот СК вокруг оси Oz, то координата z точки M не изменится, а x и y будут изменяться по тем же формулам (18) и (18¢). Самостоятельно выпишите формулы преобразования координат при повороте СК в пространстве вокруг Ox и Oy.

Важно не путать поворот СК с поворотом плоскости. Пусть точ-ка M ¢(x¢, y¢) получается из точки M(x, y) поворотом вокруг начала координат на угол a . Для того, чтобы найти, как выражаются  (x¢, y¢) через (x, y) мы представим ситуацию так: точка M остается на месте, а СК поворачивается в обратном направлении, т.е. на угол – a . Поэтому имеем формулы x¢= x×cos a – y×sin a

 y¢= y×sin a + y×cos a.

Допустим, теперь на плоскости заданы две совершенно произвольные декартовы СК Oxy и O¢x¢y¢. Тогда вторую СК можно получить из первой в результате двух преобразований: сначала мы совершаем перенос начала координат в точку O¢ (получим промежуточную СК O¢x²y²), а затем – поворот координатных осей. Тогдаx²= x – a, x = x²+ a, 

 y²= y – b. y = y²+ b. 

x¢ = x²×cos a + y²×sin a, x²= x¢×cos a – y¢×sin a

 y¢ = –x²×sin a + y²×cos a. y²= y¢×sin a + y¢×cos a.

Подставляя  x² и y² из первой системы в третью, получаем, что

x¢= (x – a)×cos a + (y – b)×sin a,

  y¢= –(x – a)×sin a + (y – b)×cos a.

Упражнение. Самостоятельно выпишите формулы, по которым (x, y) выражаются через (x¢, y¢ ).

 


Скалярное произведение векторов