Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Пример. Построить в полярной системе координат точки

Решение. Построение точек показано на рис. 41

Рис. 41

Пример 18. Какие линии определяются уравнениями r = а(const) и j = a(const)?

Решение. Геометрическое место точек, для которых r – расстояние от полюса – постоянно, есть окружность, поэтому уравнение r = а определяет окружность радиуса а с центром в полюсе 0. Уравнение j = a определяет луч, выходящий из полюса под углом a к полярной оси.

Сферические координаты можно использовать для введения внутренних координат на сфере. Если начало координат поместить в центр сферы радиуса r, то j  и y будут играть роль географических долготы и широты точки M, лежащей на сфере; пишем M(j, y). Точно также цилиндрические координаты позволяют ввести внутренние координаты на поверхности цилиндра. Если начало координат разместить на оси цилиндра радиуса r, то j и z будут координатами точки M, лежащей на поверхности цилиндра; пишем M(j, z).

 


Ни в коем случае не следует путать сферические и цилиндрические координаты в пространстве с внутренними координатами на сфере и цилиндрической поверхности. Очень распространена на экзамене ошибка, когда вместо первого рисунка в этом параграфе рисуют второй и третий. 

 

Преобразование координат.

Пусть на плоскости заданы две декартовы системы координат Oxy и O¢x¢y¢, у которых направления координатных осей совпадают, но начальные точки O и O¢ разные. Говорим, что вторая СК получена из первой переносом начала координат в точку O¢.

Пусть нам известны координаты точки O¢ относительно первой СК: O¢(a, b). Пусть M – произвольная точка на плоскости, (x, y) – ее координаты относительно первой СК, (x¢, y¢) – относительно второй СК. Найдем связь между этими координатами.

По определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Поэтому

(a, b), (x, y), (x¢, y¢).

По правилу треугольника сложения векторов

 = + .

Отсюда

x = x¢ + a, x¢ = x – a, 

 y = y¢ + b. y¢= y – b.

Аналогично, если в пространстве мы совершим перенос начала координат в точку O¢(a, b, c), то к

формулам (17) и (17¢ ) только добавятся равенства z¢= z + c и z = z¢+ c .

Заметим, что все наши рассуждения справедливы и в случае переноса начала произвольной аффинной СК.

Пусть теперь на плоскости заданы две декартовы СК с общим началом: Oxy и Ox¢y¢. Пусть a – ориентированный угол между положительными направлениями осей  Ox и Ox¢. Тогда говорим, что вторая СК получена из первой поворотом на угол a. Пусть M – произвольная точка на плоскости, (x, y) – ее координаты относи-

тельно первой СК, ( x¢, y¢) – относительно второй СК.

Найдем связь между этими координатами. Пусть  j – ориентированный угол между положительным направлением оси Ox и вектором , а y – между Ox¢ и . Тогда j = y + a . Обозначим r =½OM½. Тогда

Подпись: Þ x = r cos j , x¢= r cos y,

 y = r sin j .  y¢= r sin y

x = r cos (y + a) = r cos y ×cos a – r sin y×sin a = x¢×cos a – y¢×sin a

 y = r sin (y + a) = r cos y ×sin a + r sin y×cos a = y¢×sin a + y¢×cos a.

Итак,

 x = x¢×cos a – y¢×sin a

 y = x¢×sin a + y¢×cos a.

Поскольку вторая СК может быть получена из первой поворотом на угол – a, то с учетом cos(-a) = cos a, sin(-a) = – sin a , из (18) получаем

x¢= x ×cos a + y×sin a

 y¢= – x ×sin a + y×cos a.

Если в пространстве совер-шается поворот СК вокруг оси Oz, то координата z точки M не изменится, а x и y будут изменяться по тем же формулам (18) и (18¢). Самостоятельно выпишите формулы преобразования координат при повороте СК в пространстве вокруг Ox и Oy.

Важно не путать поворот СК с поворотом плоскости. Пусть точ-ка M ¢(x¢, y¢) получается из точки M(x, y) поворотом вокруг начала координат на угол a . Для того, чтобы найти, как выражаются  (x¢, y¢) через (x, y) мы представим ситуацию так: точка M остается на месте, а СК поворачивается в обратном направлении, т.е. на угол – a . Поэтому имеем формулы x¢= x×cos a – y×sin a

 y¢= y×sin a + y×cos a.

Допустим, теперь на плоскости заданы две совершенно произвольные декартовы СК Oxy и O¢x¢y¢. Тогда вторую СК можно получить из первой в результате двух преобразований: сначала мы совершаем перенос начала координат в точку O¢ (получим промежуточную СК O¢x²y²), а затем – поворот координатных осей. Тогдаx²= x – a, x = x²+ a, 

 y²= y – b. y = y²+ b. 

x¢ = x²×cos a + y²×sin a, x²= x¢×cos a – y¢×sin a

 y¢ = –x²×sin a + y²×cos a. y²= y¢×sin a + y¢×cos a.

Подставляя  x² и y² из первой системы в третью, получаем, что

x¢= (x – a)×cos a + (y – b)×sin a,

  y¢= –(x – a)×sin a + (y – b)×cos a.

Упражнение. Самостоятельно выпишите формулы, по которым (x, y) выражаются через (x¢, y¢ ).

 


Скалярное произведение векторов