Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча Ор, исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба  (рис. 39).

Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим r = ОМ – расстояние точки М от полюса,  – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ. Числа r и j называются полярными координатами точки М, r – полярный радиус, j – полярный угол точки М. По определению r ³ 0. Задание пары чисел (r, j) однозначно определяет точку М на плоскости. Если ограничить изменение j пределами 0 £ j < 2p (или -p < j £ p), то каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел (r, j). Исключение составляет полюс, для которого r = 0, а угол j не определен.

Рис. 39

Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало 0 совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси Ор (рис.40). Тогда полярные координаты (r, j) и декартовы координаты (х, у) точки М связаны соотношениями:

(2.25)

(2.26)

Из этих формул следует:

(2.27)

Рис. 40

Формула для tgj определяет два угла j и j + p в промежутке [0; 2p). Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть, в которой находится точка М, или воспользоваться формулами (2.27).

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно вместо х, у подставить в уравнение их выражения из формул (2.25). Обратный переход от полярного уравнения к уравнению в декартовых координатах осуществляется с помощью формул (2.26), (2.27).

Полярная система координат на плоскости.

Выберем на плоскости произвольные точку O и ось OP,  которая задается единичным направленным отрезком . Пусть M – произвольная точка плоскости. Обозначим r = OM, j = Ð(, ) – ориентированный угол. Тогда пара (r, j)  называется полярными координатами точки M.

Точка O называется полюсом, а OP – полярной осью. Совокупность точки O и оси OP называется полярной системой координат на плоскости.

Очевидно, что 0£ r < +¥ , а для угла j обычно договариваются, что 0£ j < 2p, либо, что – p< j £ p. При этом, если r = 0, то считается j неопределенным.

Найдем связь между декартовыми и полярными координатами точки M. Выберем декартову СК так, чтобы точка O была ее началом, а положительное направление оси Ox совпадало с направлением оси OP. Пусть M1 и M2 – проекции точки M на координатные оси Ox и Oy соответственно. Тогда из DOMM1 и DOMM2 получаем

x = r cos j , r = ,

 y = r sin j . (14) j = arctg . (14¢)

Но последнее равенство верно только для нашего чертежа, когда x > 0. Вообще, знание синуса, косинуса, или тангенса в отдельности не позволяет однозначно определить угол j. Его следует находить сразу из двух равенств:

 cos j = x/r, sin j = y/r,

либо так: j = arccos , если y ³ 0; j = – arccos , если y < 0 (предполагается, что – p< j £ p). Использование арктангенса неудобно: надо оговаривать еще случай x = 0 и поэтому приходится писать 4 равенства.

 

Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.

Пусть в пространстве задана декартова СК Oxyz и пусть  M(x, y, z) – произвольная точка. Опустим перпендикуляр MMo на плоскость Oxy. Тогда, очевидно, ½MMo½= z. Обозначим r =½OM½, y =Ð MoOM ; при этом, если z >0, то считаем, что y >0, а если z <0, то y <0. Пусть (r, j) – полярные координаты точки Mo на

плоскости. Тогда тройка (r, j, y) называется сферическими координатами точки M, а тройка (r, j, z) – ее цилиндрическими координатами. Очевидно, что 0 £ r < +¥, –p/2 £ y £ p/2 . Если y = ± p/2, то точка M лежит на оси Oz, Mo= O  и тогда j считается неопределенным.

  Найдем формулы, которые связывают декартовы, сферичес-кие и цилиндрические координаты

точки  M. Из DOMMo находим, что 

r = r×cosyr = ,

 z = r×siny . (15) y = arcsin (15¢)

Эти формулы можно рассматривать, как переход от сферических координат к цилиндрическим и обратно; а j у этих систем координат общее. Формулы (14) и (14¢ ) можно рассматривать, как переход от цилиндрических координат к декартовым, и обратно. Подставляя (15) в (14) получаем формулы перехода от сферических координат к декартовым, а подставляя (14¢ ) в (15¢) получаем формулы перехода от декартовых координат к сферическим:

x = r cos j×cosyr = ,

 y = r sin j×cosy , (16) j = ± arccos , (16¢)

 z = r×sinyy = arcsin( z /r) .

Во второй формуле из (16¢) знак выбирается в соответствии со знаком y.


Скалярное произведение векторов