Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча Ор, исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба  (рис. 39).

Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим r = ОМ – расстояние точки М от полюса,  – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ. Числа r и j называются полярными координатами точки М, r – полярный радиус, j – полярный угол точки М. По определению r ³ 0. Задание пары чисел (r, j) однозначно определяет точку М на плоскости. Если ограничить изменение j пределами 0 £ j < 2p (или -p < j £ p), то каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел (r, j). Исключение составляет полюс, для которого r = 0, а угол j не определен.

Рис. 39

Выберем декартову систему координат так, чтобы ее начало 0 совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси Ор (рис.40). Тогда полярные координаты (r, j) и декартовы координаты (х, у) точки М связаны соотношениями:

(2.25)

(2.26)

Из этих формул следует:

(2.27)

Рис. 40

Формула для tgj определяет два угла j и j + p в промежутке [0; 2p). Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть, в которой находится точка М, или воспользоваться формулами (2.27).

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно вместо х, у подставить в уравнение их выражения из формул (2.25). Обратный переход от полярного уравнения к уравнению в декартовых координатах осуществляется с помощью формул (2.26), (2.27).

Полярная система координат на плоскости.

Выберем на плоскости произвольные точку O и ось OP,  которая задается единичным направленным отрезком . Пусть M – произвольная точка плоскости. Обозначим r = OM, j = Ð(, ) – ориентированный угол. Тогда пара (r, j)  называется полярными координатами точки M.

Точка O называется полюсом, а OP – полярной осью. Совокупность точки O и оси OP называется полярной системой координат на плоскости.

Очевидно, что 0£ r < +¥ , а для угла j обычно договариваются, что 0£ j < 2p, либо, что – p< j £ p. При этом, если r = 0, то считается j неопределенным.

Найдем связь между декартовыми и полярными координатами точки M. Выберем декартову СК так, чтобы точка O была ее началом, а положительное направление оси Ox совпадало с направлением оси OP. Пусть M1 и M2 – проекции точки M на координатные оси Ox и Oy соответственно. Тогда из DOMM1 и DOMM2 получаем

x = r cos j , r = ,

 y = r sin j . (14) j = arctg . (14¢)

Но последнее равенство верно только для нашего чертежа, когда x > 0. Вообще, знание синуса, косинуса, или тангенса в отдельности не позволяет однозначно определить угол j. Его следует находить сразу из двух равенств:

 cos j = x/r, sin j = y/r,

либо так: j = arccos , если y ³ 0; j = – arccos , если y < 0 (предполагается, что – p< j £ p). Использование арктангенса неудобно: надо оговаривать еще случай x = 0 и поэтому приходится писать 4 равенства.

 

Сферическая и цилиндрическая системы координат в пространстве.

Пусть в пространстве задана декартова СК Oxyz и пусть  M(x, y, z) – произвольная точка. Опустим перпендикуляр MMo на плоскость Oxy. Тогда, очевидно, ½MMo½= z. Обозначим r =½OM½, y =Ð MoOM ; при этом, если z >0, то считаем, что y >0, а если z <0, то y <0. Пусть (r, j) – полярные координаты точки Mo на

плоскости. Тогда тройка (r, j, y) называется сферическими координатами точки M, а тройка (r, j, z) – ее цилиндрическими координатами. Очевидно, что 0 £ r < +¥, –p/2 £ y £ p/2 . Если y = ± p/2, то точка M лежит на оси Oz, Mo= O  и тогда j считается неопределенным.

  Найдем формулы, которые связывают декартовы, сферичес-кие и цилиндрические координаты

точки  M. Из DOMMo находим, что 

r = r×cosyr = ,

 z = r×siny . (15) y = arcsin (15¢)

Эти формулы можно рассматривать, как переход от сферических координат к цилиндрическим и обратно; а j у этих систем координат общее. Формулы (14) и (14¢ ) можно рассматривать, как переход от цилиндрических координат к декартовым, и обратно. Подставляя (15) в (14) получаем формулы перехода от сферических координат к декартовым, а подставляя (14¢ ) в (15¢) получаем формулы перехода от декартовых координат к сферическим:

x = r cos j×cosyr = ,

 y = r sin j×cosy , (16) j = ± arccos , (16¢)

 z = r×sinyy = arcsin( z /r) .

Во второй формуле из (16¢) знак выбирается в соответствии со знаком y.


Скалярное произведение векторов