Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Общее уравнение кривой второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

 

Уравнение такого вида может определять: 1) эллипс (в частности, окружность), 2) гиперболу, 3) параболу, 4) пару прямых (параллельных, пересекающихся либо совпадающих), 5) точку или не определять никакой линии.

В простейшем случае, при В = 0, тип кривой можно определить, выделив полные квадраты переменных.

Пример 16. Построить кривую

Решение.      Тогда уравнение можно записать в виде  или  или  – уравнение гиперболы с полуосями а = 4,  центр которой находится в точке О1(-1; 3) (рис. 38).

 

Двойное векторное произведение.

Определение. Двойным векторным трех векторов , , называется вектор (´ )´.

Обозначим = (´ )´ . Если ½½ , то ´ = Þ = . Пусть теперь и неколлинеарны. Согласно определению, векторное произведение перпендикулярно сомножителям

Поэтому ^ ´, ^ ´, ^ ´

Значит вектор компланарен и . и мы можем разложить через и :

  = l + m. (*)

(это верно и в случае = ). Вычислим коэффициенты этого разложения. По определению векторного произведения ^ Û · = 0. Домножим обе части равенства  (*) скалярно на вектор :

 0 = l( · ) + m( · ).

Очевидно, что уравнение lx + my = 0 относительно неизвестных l и m  имеет общее решение (– ky, kx), kÎR . Таким образом

( ´ )´ = – k( · ) + k( · ).

Для того, чтобы вычислить неизвестный координат k, мы вычислим обе части равенства в специально выбранной декартовой СК. Направим ось Ox­­ , а Oy так, чтобы был параллелен плоскости Oxy. Тогда (a1, 0, 0), (b1, b2, 0), (c1, c2, c3). Находим:

 

 · = a1c1, · = b1c1 + b2c2 ,

 ( · )= (b1c1 + b2c2)a1i, ( · ) = a1c1(b1i + b2j).

 – k( · ) + k( · ) = k(– a1b 2c2 i + a1b2c2 j).

Сравнивая последнее равенство с (**) получаем k =1. Итак,

 (´)´ = – ( · ) + ( · ) Þ

 ´( ´ ) = – ( ´ )´ = ( · ) – ( · ) . (23)

Именно в таком виде формулу для вычисления двойного векторного произведения и запоминают. Для этого есть у нее название «бац минус цаб».

Упражнение. Самостоятельно проверьте с помощью этой формулы тождество Якоби:

 (´ )´ + ( ´ )´ + ( ´ )´ º .


Скалярное произведение векторов