Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Обозначим фокус F, расстояние от фокуса до директрисы р. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось ОХ проходила через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу и начало координат делило пополам расстояние между фокусом и директрисой (рис. 33). Тогда  а уравнение директрисы

 

Рис. 33

Выведем уравнение параболы в выбранной системе координат. Пусть М(х, у) – произвольная точка параболы, МN – перпендикуляр, опущенный из точки М на директрису.

По определению МN = МF.

Но  

Тогда  

 или

(2.24)

  – каноническое уравнение параболы.

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется число (´ ) ·. Оно обозначается · ·, или (, , ).

Теорема 6. Модуль смешанного произведения трех векторов , , численно равен объему параллелепипеда построенного на направленных отрезках , , , представляющих эти векторы, отложенные из одной точки.

Доказательство. Пусть h – высота, опущенная из точки С на основание, которым служит параллелограмм, построенный на направленных отрезках и . Пусть a – угол между h и стороной OC. Тогда

h =½OC½cos a , Sосн =½ ´½.

Пусть  b =Ð( ´, ).

1 случай. Тройка (, , ) 

правая. Тогда b = a . Поэтому

 V = Sосн · h = ½ ´½½OC½cos a =

 =½ ´½½½ cos Ð( ´, ) =

  = ( ´ ) · .

2 случай. Тройка (, , ) левая. Тогда b = pa  и

os a = – cos b Þ

  V =½ ´½½OC½cos a =

 = –½ ´½½½cos Ð( ´, ) =

  =–( ´ ) ·.

Но объем всегда неотрицателен. Поэтому в этом случае ( ´ ) · £ 0, и мы имеем

 V =½( ´ ) ·½.

Эта формула подойдет и к первому случаю.

Следствие. 1. , , компланарны Û = 0;

2. тройка (, , ) правая Û > 0;

3. тройка (, , ) левая Û < 0.

Действительно, объем параллелепипеда равен нулю Û векторы , , компланарны. Если же они образуют левую тройку, то мы уже доказали, что £ 0 , а так как они в этом случае некомпланарны, то неравенство будет строгим. Аналогично, если тройка (, , ) правая, то ³ 0 и , , некомпланарны; поэтому неравенство будет строгим.

 


Скалярное произведение векторов