Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Из симметрии гиперболы относительно осей координат следует, что этим же свойством обладает прямая  Прямые  и  называются асимптотами гиперболы.

На рисунке 32 показано, как с помощью основного прямоугольника гиперболы (это прямоугольник со сторонами длиной 2а и 2в, параллельными осями координат) построить асимптоты гиперболы. Из рисунка видно также взаимное расположение гиперболы и ее асимптот.

 

Рис. 32

Пример 15. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между ее фокусами равно 26, а эксцентриситет равен

Решение. По условию 2с = 26,  Следовательно, большая полуось гиперболы  Тогда малая полуось  Уравнение гиперболы имеет вид

Формулы для вычисления скалярного и векторного произведений в декартовых координатах.

Пусть в пространстве задана декартова СК, i, j, k – базисные орты. Пусть (a1, a2, a3), (b1, b2, b3). В соответствии со свойствами скалярного произведения мы можем при скалярном умножении векторов раскрывать скобки, как при умножении чисел. Поэтому

· = (a1i + a2j + a3k) ·(b1i + b2j + b3k) = a1b1i·i + a1b2 i·j + a1b3 i·k +

 + a2b1j·i + a2b2 j·j + a2b3 j·k + a3b1k·i + a3b2 k·j + a3b3k·k.

Нам известно, что i, j, k – единичные и взаимно ортогональные Þ i·i = = j·j = k·k = 1, i·j = i·k = j·k = 0, и это же верно для произведений в другом порядке. Поэтому

· = a1b1 + a2b2 + a3b3 . (7)

Þ  2 = ·= a12 + a22 + a 32 (8)

Þ  ½½= = (9)

Þ cosÐ(, ) = = . (10)

Если A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) Þ

½½= . (11)

Обозначим r(A, B) – расстояние между точками A и B. Тогда r(A, B) вычисляется по той же формуле (11). Отметим, что эта функция обладает следующими свойствами:

1. r(A, B) = r(B, A);

2. r(A, B) + r(B, C) ³ r(A, C) (неравенство треугольника);

3. r(A, B) ³ 0, и r(A, B) = 0 Û A = B.

В дальнейшем нам понадобится понятие определителя и его свойства. Этот материал входит в курс высшей алгебры, но изучается, как правило, позже, чем векторное произведение. Поэтому необходимые сведения об определителях 2 и 3 порядка приведены в Приложении к данному курсу лекций. Рекомендуется почитать Приложение, прежде чем продолжить изучение текущего параграфа.

Теорема 5. Векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами в декартовой  СК: (a1, a2, a3) и (b1, b2, b3), вычисляется по формуле:

 (12)

 = (a1b2 – a2b1)i – (a1b3 – a3b1)j + (a2b3 – a3b2)k .

Доказательство. Обозначим – это вектор, который вычисляется по этой формуле. Мы докажем, что он удовлетворяет всем условиям в определении векторного произведения.

1. С одной стороны

½½2= (a2b1– a3b1)2 + (a1b3 – a3b1)2 + (a2b3 – a3b2)2 (*) ,

А с другой стороны

  (½½½½sinÐ(, ))2 = ½½2½½2sin2Ð(, ) =½½2½½2(1 – cos2Ð(, )) =

 =½½2½½2– ½½2½½2cos2Ð(, ) =½½2½½2 – ( · )2 =

 = (a12 + a22 + a32 ) · (b12 + b22 + b32 ) – (a1b1 + a2b2 + a3b3)2. (**)

Самостоятельно раскройте скобки в (*) и (**), и убедитесь, что эти выражения совпадают.

2. · = (a1i + a2j + a3k) · ( )

Если ½½ , то строки в определителе пропорциональны и наша формула дает нулевой вектор. Пусть и неколлинеарны. Выберем СК таким образом, чтобы Ox­­, а Oy лежала в одной плоскости с и , причем положительное ее направление указывало в ту же полуплоскость, что и . Ось Oz после этого определяется

однозначно. Тогда (a1,0, 0), (b1, b2, 0), причем, a1> 0, b2> 0. Согласно формуле (12) получаем = a1b2k, причем, a1b 2> 0. Значит ­­Oz, и из чертежа видим, что тройка (, , ) – правая.

Итак, вектор, который вычисляется по нашей формуле удовлетворяет всем пунктам в определении векторного произведения.

Следствие 1. ´ = – ´

Действительно, по свойству определителя, при перестановке двух строк изменяется знак:

 


 

Следствие 2. (l )´ = l( ´ ).

Действительно, по свойству определителя, общий множитель элементов одной строки выносится за знак определителя:

 


Следствие 3. ´( + ) = ´ + ´.

Действительно, по свойствам определителя

 


Следствие 4. i´j = k, k´i = j, j´k = i.

Докажите это самостоятельно с помощью формулы (12).

Все эти равенства удобно запоминать с помощью диаграммы. Произведение двух ортов взятых подряд по кругу дает третий орт, а в обратном направлении – третий со знаком «–».

 


Скалярное произведение векторов