Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Полагая в каноническом уравнении у = 0, найдем точки пересечения гиперболы с осью ОХ: х = ±а. При х = 0 уравнение не имеет решений, то есть с осью ОУ гипербола не пересекается. Точки А1(-а; 0) и А2(а; 0) называются вершинами гиперболы. Фокальная ось (ось, на которой лежат фокусы) называется действительной осью гиперболы, а перпендикулярная ей ось – мнимой осью. Действительной осью называется также отрезок А1А2 и его длина 2а. Отрезок, соединяющий точки В1(0; -в) и В2(0; в), а также его длина 2в называются мнимой осью гиперболы. Числа а и в называются соответственно действительной и мнимой полуосями.

Отношение  называется эксцентриситетом гиперболы. e > 1.

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше эксцентриситет, тем меньше отношение полуосей гиперболы, то есть тем сильнее вытянут ее основной прямоугольник относительно фокальной оси

Рассмотрим часть гиперболы, расположенную в первой четверти:  Покажем, что точки этого графика, расположенные на достаточно большом расстоянии от начала координат, сколь угодно близки к прямой  Пусть М(х, у) и N(х, У) – точки с одной и той же абсциссой, лежащие соответственно на гиперболе и на прямой  (рис. 31). Рассмотрим разность ординат этих точек:

 

Рис. 31

 

Очевидно, что при неограниченном возрастании х эта разность стремится к нулю, то есть точки М и N неограниченно сближаются.

Деление отрезка в данном отношении.

Определение. Пусть точка C лежит на отрезке AB. Говорим, что C делит отрезок AB в отношении l1:l2 , если

= Û l2½AC½= l1½CB½.

Учитывая, что ­­ , последнее равенство можно переписать так:

 l2 = l1.  (6)

Теперь мы введем обобщение нашего определения, и будем говорить, что точка C делит отрезок AB в отношении l1:l2 , если выполнено (6). Такое определение означает, что C может лежать на прямой AB за пределами отрезка AB, если l1:l2 отрицательно. Число l = l1/l2  ( = l) называется простым отношением точек  A, B, C и обозначается (AB, C) или (ABC).

Пусть нам известны координаты концов отрезка: A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2). Требуется найти координаты точки C(x, y, z), которая делит этот отрезок в отношении l1:l2. Самостоятельно выведите из равенства (6), что

x = , y = , z = .

Эти формулы также будут доказаны на практических занятиях. В частности, если C делит отрезок AB пополам, то

x = , y = , z = .

 

 

Векторное произведение.

Определение. Векторным произведением двух векторов и называется такой вектор , что

1.  ^ , ^ ;

2. тройка (, , ) – правая;

3. ½½= ½½ ½½sinÐ( , ).

Пишем = ´ (используется также обозначение = [, ] ).

Чрезвычайно распространена на экзамене следующая ошибка. В ответ на вопрос: «Дайте определение векторного произведения» студенты пишут только по3 определения, к тому же, зачастую, опуская модуль у . Такой ответ классифицируется как полное отсутствие ответа. Невозможно определить вектор, задав только его длину. Необходимо задать еще его направление. По1 указывает, что вектор  ´ направлен по общему перпендикуляру к и . Но таких векторов заданной длины можно найти два. Поэтому необходим еще и по2.

Теорема 4. Модуль векторного произведения двух векторов и численно равен площади параллелограмма, построенного на направленных отрезках и , представляющих

эти векторы, отложенные из одной точки.

Доказательство. S =½½½½ sinÐAOB =

=½½½½sinÐ(, ) = ½ ´ ½.

Следствие. ´ = Û ½½  .

В частности, для любого вектора выполнено ´ = . 

Действительно, ´ = Û S = 0 Û стороны параллелограмма параллельны, либо длина одной из них равна нулю. Поскольку нулевой вектор считается коллинеарным любому, то это равносильно ½½  .

Свойства векторного произведения.

1. ´ = – ´ ,

2. (l )´ = l( ´ ),

3. ´( + ) = ´ + ´.

Геометрическое доказательство этих свойств можно найти в учебнике. Мы же докажем их после того, как получим формулу для вычисления векторного произведения в декартовых координатах.

 


Скалярное произведение векторов