Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы F1, F2, расстояние между ними – 2с, постоянную из определения – 2а (по условию 2а < 2с, а < с). Выберем систему координат так же, как при выводе уравнения эллипса (см. рис. 28).

По определению  или

 

Обозначив  и разделив обе части на а2в2, получим каноническое уравнение гиперболы:

(2.23)

Кривая симметрична относительно осей координат, так как уравнение содержит только четные степени х, у. В первой координатной четверти уравнение имеет вид  х ³ а; при возрастании х от а до +¥ у возрастает от 0 до +¥. Учитывая симметрию, можно сделать вывод о форме гиперболы (рис. 30).

 

Рис. 30

Координаты вектора и точки в пространстве.

Пусть в пространстве заданы три некомпланарных вектора , , . Назовем их базисными, а тройку B = {, , } – базисом. Пусть O – произвольная точка. Четверку R = {O, , , } назовем аффинным репером в пространстве. Пусть – произвольный вектор. Отложим все векторы из точки  O:

= , = ,

 = , = .

Проведем прямые l1 = OA, l2 = OB, l3 = OC. Построим параллелепипед так, чтобы три его ребра лежали на этих прямых, а точка D была вершиной. Пусть A1, B1, C1 – вершины параллелепипеда, лежащие на прямых l1, l2, l3, а D1 – четвертая вершина основания. Пусть 

 = , = , = , = .

Тогда = , и по правилу треугольника = + . А по правилу параллелограмма = + . Значит, = + + . Но || , || , || , и по признаку коллинеарности векторов существуют такие числа x1, x2, x3, что = x1, = x2, = x3 Þ

  = x1 + x2 + x3 . (5)

Это выражение называется разложением вектора по базису B . Числа x1, x2, x3 называются координатами вектора в этом базисе. Они же называются координатами точки D относительно репера R . Пишем (x1, x2, x3 )B , D(x1, x2, x3 )R . Репером также называют четверку точек {O, A, B, C}.

Вектор называется радиус-вектором точки D в данном репере. Таким образом, по определению координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Точка O называется началом координат, прямые l1, l2, l3, вместе с выбранными на них направленными отрезками , , , называются координатными осями, а совокупность координатных осей и начала называется аффинной системой координат в пространстве. Иногда репером называют четвёрку точек {O, A, B, C}, не лежащих в одной плоскости.

Если мы выберем другое начало координат, то та же самая точка D будет задаваться другим радиус-вектором Þ ее координаты изменятся. Координаты же вектора не зависят от выбора начала координат. Действительно, пусть имеем еще одно разложение

= y1 + y2 + y3, (5' )

где, например, y3 ≠ x3 . Вычтем (5' ) из (5):

= (x1 – y1) + (x2 – y2) + (x3 – y3), Þ

= + .

Значит, вектор лежит в одной плоскости с векторами и  . А мы с самого начала предполагали, что векторы , , некомпланарны. Противоречие. Значит, y3 = x3 . Аналогично доказывается, что y2 = x2, y1 = x1.

Так же, как и на плоскости доказывается, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. А для того, чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца отнять координаты начала.

Если векторы , , единичные и взаимно ортогональные, то базис B и репер R называются ортонормированными. Если, к тому же, векторы , , образуют правую тройку, то СК называется декартовой. В этом случае приняты обозначения базисных векторов i, j, k ; координат – x, y, z; координатных осей – Ox, Oy, Oz; направленных отрезков на осях – OE1, OE2, OE3.

Векторы i, j, k называются базисными ортами.

Так же, как и на плоскости доказывается, что в декартовой СК координаты вектора совпадают с его скалярными проекциями на координатные оси.

Пусть  a =Ð( i, ), b =Ð( j, ), g =Ð( j, ). Тогда величины cos a, cos b, cos g называются направляющими косинусами вектора .

 Они обладают свойством: cos2a + cos2b + cos2g = 1.

Теорема 1¢. (второй признак коллинеарности векторов).

Для того, чтобы два ненулевых вектора на плоскости или в пространстве были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны ( (a1, a2, a3)½½  (b1, b2, b3) Û = = ).

Доказательство. Согласно первому признаку коллинеарности векторов || Û $l: = l Û a1= lb1, a2 = lb2, a3 = lb3 Û Û = = = l .


Скалярное произведение векторов