Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Уравнение содержит только четные степени х, у, следовательно, кривая симметрична относительно осей координат. В первой координатной четверти уравнение имеет вид  при возрастании х от 0 до а у убывает от в до 0. Учитывая симметрию, можно сделать вывод о форме эллипса (рис. 29).

 

Рис. 29

Оси симметрии эллипса называются осями эллипса, точка их пересечения 0 – центром эллипса. Ось, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Точки пересечения эллипса с осями называются вершинами эллипса (А1, А2, В1, В2). Отрезки А1А2 и В1В2, а также их длины 2а и 2в называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа а и в называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси называется эксцентриситетом эллипса. e < 1.

Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем меньше эксцентриситет, тем меньше его малая полуось в отличается от большой полуоси а, то есть тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси

Пример 14. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки  и  Написать его уравнение, найти эксцентриситет.

Решение. Координаты точек М и А должны удовлетворять уравнению (2.22):  Решив систему, получим  тогда уравнение эллипса    

Координаты вектора и точки на прямой.

Пусть l – произвольная прямая. Рассмотрим множество всех векторов параллельных l. Пусть – один из них. Назовем его базисным. Пусть || l – другой вектор.

Число x называется координатой вектора относительно базиса B = {}. Пишем (x)B .

Если = y, то + = (x + y), а если a – произвольное число, то a = (ax) . Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Выберем теперь произвольную точку OÎl. Пару R = {O, } назовем репером. Пусть B – произвольная точка на прямой, а = , и (x)B . Тогда x называется координатой точки B относительно репера R .

Очевидно, точка O делит прямую l на два луча. На одном из них точки имеют координату x ³ 0, а на втором – x £ 0. Точка O называется началом координат. Базис B и репер R называются единичными, если | | = 1. Очевидно, что в этом случае ½OB½=½½ = | x || |= | x |.

Если A – такая точка, что = , то репером еще называют пару {O, A}.

 

Координаты вектора и точки на плоскости.

Пусть на плоскости заданы два неколлинеарных вектора  , и произвольная точка O. Пару B = {, } назовем базисом, а тройку R = {O, , } – аффинным репером. Пусть – произвольный вектор. Отложим все векторы из точки O: 

 = , = , = .

Проведем прямые l1= OA , l2 = OB. Построим параллелограмм, две стороны которого лежат на прямых l1, l2, так чтобы C являлась его вершиной. Пусть A1 и B1 – вершины параллелограмма, лежащие на l1 и l2 соответственно. Пусть = , = . Тогда по правилу пар аллелограмма = + . Поскольку ||, а ||, то существуют такие числа x1, x2 , что = x1 , = x2 Þ

  = x1 + x2. (4)

Это выражение называется разложением вектора по базису B = {, }. Числа x1, x2 называются координатами вектора в данном базисе. Они же называются координатами точки C относительно репера R = {O, , }. Пишем (x1, x2)B , C(x1, x2)R . Если заранее известно, о каком базисе или репере идет речь, то их обозначение к координатам не добавляют. Репером на плоскости также называют тройку точек {O, A, B}.

Точка O называется началом координат. Прямые l1, l2 вместе с выбранными на них направленными отрезками , называются координатными осями. А совокупность координатных осей и начала координат называется аффинной системой координат (СК) на плоскости. Иногда репером называют также тройку точек {O, A, B}, не лежащих на одной прямой.

Вектор называется радиус-вектором точки C в данной СК или в данном репере. Если мы выберем другое начало координат O1, то та же самая точка C будет задаваться другим радиус-вектором = . Поэтому ее координаты изменятся. Координаты же вектора не зависят от выбора начала координат.

Действительно, пусть мы имеем еще одно разложение:

 = y1 + y2, (4¢)

где, например, x2 ≠ y2 . Вычтем (4¢) из (4):

 = (x1 – y1) + (x2 – y2) Þ = .

Мы получили, что ||, но мы с самого начала предполагали, что векторы и неколлинеарны. Противоречие. Значит, x2 = y2. Аналогично доказывается, что x1 = y1.

Определение. Базис B и репер R называются ортонормированными, если базисные векторы являются единичными и взаимно перпендикулярными (| | = | | =1 и · = 0). В этом случае СК тоже называется ортонормированной. Если, к тому же, пара (, ) является правой, то СК называется декартовой.

Тогда приняты следующие обозначения: координаты (x, y), координатные оси – Ox, Oy, базисные векторы – i , j , направленные отрезки на осях – OE1, OE2 . Векторы i, j называются базисными ортами.

Пусть произвольный вектор в декартовой СК имеет координаты (x, y), т.е. = xi + yj . Домножим это равенство скалярно на вектор i:

· i = x(i·i) + y(j·j) = x·1 + y· 0 = x.

А, с другой стороны,

· i =½½½ i½ cosÐ(, i) =½½ cosÐ(i, ) = POx.

Значит, x = POx . Аналогично получаем y = POy. Таким образом, в декартовой СК координаты вектора совпадают с его скалярными проекциями на координатные оси.

Пусть a =Ð( i, ), b =Ð( j, ). Тогда величины cos a  и cos b называются направляющими косинусами вектора .

Пусть в произвольной аффинной СК, которая задаётся репером R = {O, , } известны координаты двух векторов: (x1, x2), (y1, y2). Тогда

+ = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) = (x1+y1) + (x2+y2).

l = l(x1 + x2 ) = (lx1) + ( lx2).

Значит, вектор + имеет координаты (x1 + y1, x2 + y2), а вектор l имеет координаты (lx1,lx2). Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Также легко убедиться, что при вычитании векторов их координаты вычитаются.

Допустим, нам известны координаты двух точек P(x1, x2), Q(y1, y2), а = . Выясним, как найти координаты этого вектора.

img width=258 height=186 src="ris4/image954.gif">Пусть = , = . Согласно определению, координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора. Значит, (x1, x2), (y1, y2). По правилу тре-угольника + = , т.е. = – .

Значит, (y1– x1, y2 – x2).

Таким образом, для того, чтобы найти координаты вектора надо от координат его конца вычесть координаты начала.


Скалярное произведение векторов