Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Кривые второго порядка

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат х, у

Эллипс

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы F1, F2, расстояние между ними – 2с, постоянную из определения – 2а (по условию 2а > 2с, то есть а > с). Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось ОХ проходила через фокусы и точка О находилась на середине отрезка F1F2. В такой системе координат F1(-с; о), F2(с; о) (рис. 28).

 

Рис. 28

Выведем уравнение эллипса в выбранной системе координат. Для этого рассмотрим произвольную точку эллипса М(х, у).

По определению  

Но  следовательно,  Преобразуем это уравнение, дважды возводя в квадрат обе части:

 

 


 

Обозначим  Разделив обе части на а2в2, получим каноническое уравнение эллипса:

 

(2.22)

Скалярное произведение векторов.

Определение. калярным произведением двух векторов и называется число

 · = | |½½ cosÐ( , ). (1)

Число 2 = · называется скалярным квадратом вектора .

Из определения получаем

 2 = – | || | cos 0 о = | |2 Þ  | | = .

Также из определения очевидно, что равенство · = 0 возможно только в следующих случаях: 1. | |= 0 , 2. ½½= 0 , 3. Ð(, ) = p/2.

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 3. 1. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

2. Для того, чтобы ненулевые векторы  и были перпендику лярны необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю ( ^ Û · = 0).

Согласно по1 теоремы 2 величина ½½ cosÐ( , ) равна скалярной проекции вектора на ось, направление которой определяется вектором . Обозначим эту величину  P. Тогда

 · = | |·P =½½ P . (2)

Свойства скалярного произведения.

1. · = · (коммутативность);

2. (l ) · = l( · ); (линейность)

3. ·( + ) = · + ·;

4. · ³ 0, и · = 0 Û = (положительная определенность).

Доказательство. 1. Вытекает непосредственно из определения.

2. Согласно формулам (2) и свойствам скалярной проекции (по2 теоремы 2)

 (l )· =½½P(l ) =½½(lP ) = l(½½P ) = l( · ).

3. Согласно по3 теоремы 2 и формулам (2) имеем

 ·( + ) = | |P( + ) = | |(P + P ) = | |P + | |P = · + ·

4. Вытекает непосредственно из по1 теоремы 3.

 Замечание. Если мы знаем, чему равно скалярное произведение векторов и и знаем их длины, то мы можем вычислить угол между ними:

 cosÐ( , ) = . (3)

Используется также следующее обозначение для скалярного произведения: (, ).


Скалярное произведение векторов