Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Пример. В треугольнике с вершинами , ,  составить уравнения медианы , высоты , найти длину высоты  (рис. 27).

 

Рис. 27

Решение.  – середина отрезка , ее координаты найдем по формулам (2.7): , , то есть . Таким образом, на медиане известны две точки  и . Воспользуемся уравнением (2.17): , или  – уравнение медианы . Его можно привести к виду . Для составления уравнения высоты  найдем  – нормальный вектор прямой ВН. Воспользуемся уравнением (2.12): . Разделив на 4 и раскрыв скобки, получим  – уравнение . Составим уравнение прямой , используя уравнение (2.15) и рассматривая  как направляющий вектор: ; , или . Тогда длину высоты  найдем по формуле (2.21) как расстояние от точки  до прямой : .

Проекция вектора на ось.

Пусть  l – некоторая прямая в пространстве. Выберем точку OÎ l и единичный вектор || l. Построим направленный отрезок = . Прямая l с отрезком называет что ось – это прямая, на которой задано направление.

Определение. Пусть – произвольный вектор, а  – произвольный направленный отрезок, который представляет . Опустим перпендикуляры AA1 и BB1 на прямую l. Пусть = . Тогда вектор

 

Зная скалярную проекцию вектора мы можем найти его векторную проекцию:

 pl = (Pl ); (*)

Если ^, то, очевидно, A1= B1 и Pl = 0.

Необходимо еще доказать, что определения скалярной и векторной проекции корректны, т.е. не зависят от выбора направленного отрезка , который представляет вектор . Другими словами, если мы отложим вектор от другой точки, то его скалярная и векторная проекции не изменятся,– и это надо доказать.

Проведем через точки A и B  плоскости a и b перпендикулярно l. Тогда ½p½=½Pl½ есть расстояние между a и b . Выберем другой направленный отрезок , представляющий и проведем через точки A¢, B ¢ плоскости a¢ и b¢ перпендикулярно l. Направленные отрезки и эквивалентны, а значит, они совмещаются параллельным переносом. При этом переносе плоскость a совместится с a¢, а плоскость b – с b¢. Значит, расстояние между a¢ и b¢ равно расстоянию между a и b, и оно равно ½p½. Поэтому ½p½ не зависит от выбора направленного отрезка. Направление векторной проекции также не изменится при переносе, поэтому и знак p не изменится. Итак, скалярная проекция не зависит от выбора направленного отрезка, представляющего  . В силу равенства (*) pl также не зависит от выбора направленного отрезка.

Теорема 2. Свойства проекции вектора на ось.

1. Pl =| | cosÐ(, );

2. Pl(l ) = lPl , pl(l ) = l(pl );

3. Pl( + ) = Pl + Pl, pl( + ) = pl + pl .

Доказательство. 1. Поскольку определение проекции не зависит от выбора точки A , из которой отложен вектор , мы можем отложить его из точки О. Обозначим j =Ð(, ).

1 случай: j £ p/2. Тогда из DOBB1 получим, что

 p =½OB1½=½OB½· cos j = | | cos j.

2 случай: j > p/2. Тогда из DOBB1 получим, что 

p = –½OB1½= –½OB½· cos (pj) = | | cos j.

2. Для скалярных проекций:

1 случай: l > 0. Тогда l ­­ и Ð(, l ) = j. Значит,

 Pl(l ) =½l½cos Ð(,l ) =

= l| |cos j = lPl .

2 случай: l < 0. Тогда l ­¯

Ð(, l ) = pj и cosÐ(,l ) = – cos j,

Pl(l ) =½l½cosÐ(,l ) = –l| | (– cos j) =

 = l| |cosÐ(, ) = lPl .

3 случай: l = 0. Тогда равенство очевидно.

Для векторных проекций с помощью равенства (*) получаем:

 pl(l ) = (Pl(l )) · = l(Pl ) · = l(pl ).

3. Доказательство для векторных проекций показано на чертеже, но только для случая векторов на плоскости. Рисунок для векторов в пространстве можно найти в учебнике [10].

Для скалярных проекций равенство вытекает из равенства для векторных проекций. Например, в случае, изображенном на втором рисунке,

  Pl( + ) = |A1C1|,

  Pl = |A1B1|,

  Pl = – |B1C1|,

и мы видим, чт

|A1C1| = |A1B1| +(– |B1C1|).

 


Скалярное произведение векторов