Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Пример. В треугольнике с вершинами , ,  составить уравнения медианы , высоты , найти длину высоты  (рис. 27).

 

Рис. 27

Решение.  – середина отрезка , ее координаты найдем по формулам (2.7): , , то есть . Таким образом, на медиане известны две точки  и . Воспользуемся уравнением (2.17): , или  – уравнение медианы . Его можно привести к виду . Для составления уравнения высоты  найдем  – нормальный вектор прямой ВН. Воспользуемся уравнением (2.12): . Разделив на 4 и раскрыв скобки, получим  – уравнение . Составим уравнение прямой , используя уравнение (2.15) и рассматривая  как направляющий вектор: ; , или . Тогда длину высоты  найдем по формуле (2.21) как расстояние от точки  до прямой : .

Проекция вектора на ось.

Пусть  l – некоторая прямая в пространстве. Выберем точку OÎ l и единичный вектор || l. Построим направленный отрезок = . Прямая l с отрезком называет что ось – это прямая, на которой задано направление.

Определение. Пусть – произвольный вектор, а  – произвольный направленный отрезок, который представляет . Опустим перпендикуляры AA1 и BB1 на прямую l. Пусть = . Тогда вектор

 

Зная скалярную проекцию вектора мы можем найти его векторную проекцию:

 pl = (Pl ); (*)

Если ^, то, очевидно, A1= B1 и Pl = 0.

Необходимо еще доказать, что определения скалярной и векторной проекции корректны, т.е. не зависят от выбора направленного отрезка , который представляет вектор . Другими словами, если мы отложим вектор от другой точки, то его скалярная и векторная проекции не изменятся,– и это надо доказать.

Проведем через точки A и B  плоскости a и b перпендикулярно l. Тогда ½p½=½Pl½ есть расстояние между a и b . Выберем другой направленный отрезок , представляющий и проведем через точки A¢, B ¢ плоскости a¢ и b¢ перпендикулярно l. Направленные отрезки и эквивалентны, а значит, они совмещаются параллельным переносом. При этом переносе плоскость a совместится с a¢, а плоскость b – с b¢. Значит, расстояние между a¢ и b¢ равно расстоянию между a и b, и оно равно ½p½. Поэтому ½p½ не зависит от выбора направленного отрезка. Направление векторной проекции также не изменится при переносе, поэтому и знак p не изменится. Итак, скалярная проекция не зависит от выбора направленного отрезка, представляющего  . В силу равенства (*) pl также не зависит от выбора направленного отрезка.

Теорема 2. Свойства проекции вектора на ось.

1. Pl =| | cosÐ(, );

2. Pl(l ) = lPl , pl(l ) = l(pl );

3. Pl( + ) = Pl + Pl, pl( + ) = pl + pl .

Доказательство. 1. Поскольку определение проекции не зависит от выбора точки A , из которой отложен вектор , мы можем отложить его из точки О. Обозначим j =Ð(, ).

1 случай: j £ p/2. Тогда из DOBB1 получим, что

 p =½OB1½=½OB½· cos j = | | cos j.

2 случай: j > p/2. Тогда из DOBB1 получим, что 

p = –½OB1½= –½OB½· cos (pj) = | | cos j.

2. Для скалярных проекций:

1 случай: l > 0. Тогда l ­­ и Ð(, l ) = j. Значит,

 Pl(l ) =½l½cos Ð(,l ) =

= l| |cos j = lPl .

2 случай: l < 0. Тогда l ­¯

Ð(, l ) = pj и cosÐ(,l ) = – cos j,

Pl(l ) =½l½cosÐ(,l ) = –l| | (– cos j) =

 = l| |cosÐ(, ) = lPl .

3 случай: l = 0. Тогда равенство очевидно.

Для векторных проекций с помощью равенства (*) получаем:

 pl(l ) = (Pl(l )) · = l(Pl ) · = l(pl ).

3. Доказательство для векторных проекций показано на чертеже, но только для случая векторов на плоскости. Рисунок для векторов в пространстве можно найти в учебнике [10].

Для скалярных проекций равенство вытекает из равенства для векторных проекций. Например, в случае, изображенном на втором рисунке,

  Pl( + ) = |A1C1|,

  Pl = |A1B1|,

  Pl = – |B1C1|,

и мы видим, чт

|A1C1| = |A1B1| +(– |B1C1|).

 


Скалярное произведение векторов