Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Пример. Прямая  задана уравнением . Составить уравнения а) прямой , проходящей через точку  параллельно прямой ; б) прямой , проходящей через начало координат перпендикулярно прямой .

Решение. 1-й способ. Из уравнения прямой  определим нормальный вектор этой прямой . Этот вектор перпендикулярен и прямой  (рис. 26). Таким образом, для  известен нормальный вектор  и точка . Воспользуемся уравнением (2.12):  или  – уравнение . Для прямой  вектор  является направляющим  и точка . Воспользуемся уравнением (2.15): , или , или  уравнение .

 

Рис. 26

2-й способ. Запишем уравнение прямой  в виде . Найдем угловой коэффициент прямой : . Прямая , следовательно, ее угловой коэффициент ; прямая , поэтому ее угловой коэффициент . Зная угловой коэффициент прямой и координаты точки на этой прямой, можно воспользоваться уравнением (2.18). Получим уравнение прямой :  или, умножив обе части на 3, , и уравнение прямой : , то есть .

Упражнение. Остальные свойства докажите самостоятельно.

Теорема 1 (первый признак коллинеарности векторов). Для того, чтобы ненулевые векторы и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число l , что  = l

Доказательство. Достаточность вытекает непосредственно из определения произведения вектора на число. Если = l, то по определению || .

Необходимость. Пусть || .

1 случай: ­­ . Положим  l =½½ /½½ > 0. Тогда

 l ­­ Þ  l ­­ ,

 ½l½ =½l½½½ = l| | = | | =½½.

2 случай: ­¯ . Положим l = –½½ /½½ < 0. Тогда

l ­¯ Þ l ­­ ,

 ½l½ =½l½½½= –l| | = | | =½½.

 

Что и требовалось доказать.

 

 В процессе доказательства мы показали, как решить следующую задачу: найти вектор сонаправленный с данным вектором и имеющий заданную длину ½½= b. Это будет вектор = . В частности, единичный вектор ­­ находится так: = . Такой вектор называется ортом вектора .

 

Угол между векторами. Ориентация пары векторов на плоскости или тройки векторов в пространстве.

Определение. Пусть и – два ненулевых вектора. Отложим их из одной точки О: = , = . Тогда углом между векторами и называется угол между лучами OA и OB, т.е. a =ÐAOB. Пишем a =Ð( , ).

Если речь идет о векторах на плоскости, то можем ввести понятие ориентированного угла между векторами. Если кратчайший поворот

от луча OA к лучу OB осуществляется против часовой стрелки, то считаем, что a > 0, а если по часовой – то a < 0 . Таким образом, – p < a £ p . Если a > 0, то пара векторов (, ) называется правой, а если a < 0 – то левой.

В пространстве понятие ориентированного угла не имеет смысла. Если посмотреть на плоскость, в которой лежат лучи OA и  OB с одной стороны, то увидим, что кратчайший поворот от OA к OB осуществляется в одном направлении, а если посмотреть на плоскость с другой стороны, то мы увидим тот же поворот в другом направлении

Пусть в пространстве даны три некомпланарных вектора , , . Отложим их из одной точки О: = , = , = . Тройка векторов (, , )  называется правой , если кратчайший поворот от луча OA к лучу OB, если смотреть из точки C , выглядит как осуществляющийся против часовой стрелки. Соответственно, если этот поворот выглядит как осуществляющийся по часовой стрелке, то тройка векторов (, , ) называется левой. На рисунке изображена правая тройка векторов.


Скалярное произведение векторов