Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая  на плоскости задана уравнением  и точка имеет координаты  (рис. 25). Обозначим  – основание перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую , ,  расстояние от точки  до прямой . Тогда , а  нормальный вектор прямой. Рассмотрим скалярное произведение . С одной стороны, , так как , следовательно, угол между ними или . С другой стороны, , но точка , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению , откуда , поэтому . Приравнивая выражения, получим

. Тогда  или

.  (2.21)

 

Рис. 25

  Операции над векторами.

Определение. Пусть заданы два вектора и . Отложим вектор  от произвольной точки O: = , а из точки A отложим вектор : = . Пусть – вектор, который задается направленным отрезком . Тогда называется суммой векторов и .

Пишем  = + .

 Этот способ построения суммы двух векторов называется правилом треугольника.

Однако, в нашем определении использо­валась произвольная точка O. Возникает вопрос: что если мы начнем построение от другой точки O1? Не получится ли другой вектор ? Другими словами, требуется еще доказать, что наше определение корректно. Самостоятельно докажите, пользуясь чертежом, что (~ & ~) Þ ~.

Свойства операции сложения векторов.

" , , выполнено

1. + = + (коммутативность);

2. ( + ) + = (ассоциативность);

3. + = . 

4. $! такой что + = . Этот вектор называется противоположным вектором к и обозначается – .

Доказательство. 1. Отложим и от одной точки O: = , = . Достроим ΔOAB до параллелограмма OACB. Пусть = . Очевидно, что ~, т.е. = . Тогда по правилу треугольника + = . С другой стороны, ~, Þ = и по правилу треугольника + = .

Данный способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.

2. Доказательство обозначено на чертеже. Здесь мы видим, что с одной стороны, ( + ) + = = , а с другой стороны, + ( + ) = .

Это свойство позволяет использовать обозначение + + без расстановки скобок.

3. Пусть = , а можем задать с помощью направленного отрезка . Тогда по правилу треугольника + = . Значит, + = .

4. Пусть = . Зададим = . Тогда по правилу треугольника + = . Значит, + = . Тем самым мы доказали существование противоположного вектора. Докажем единственность.

Предположим, что существует еще один вектор такой что + = . Прибавим к последнему равенству справа и слева вектор :

( + ) + = + . 

Используя свойства 1 и 2  получаем

( + ) + = + Þ + = + Þ = .

Определение. Разностью двух векторов и называется такой вектор , что + = . Пишем = – .

Докажем, что разность векторов существует и определяется однозначно.

Отложим и от одной точки O: = , = , и пусть = . Тогда по правилу треугольника + = (*). Значит, разность двух векторов существует.

Докажем единственность. Прибавим справа и слева к к равенству (*) вектор – :

( + ) + (– ) = + (– ).

Используя свойства 1 и 2 получаем

+ = + (– ) Þ = + (– ).

Тем самым мы доказали, что – = + (– ). А поскольку единственность противоположного вектора мы уже доказали, то и разность определяется однозначно. Кроме того, мы увидели, как построить разность на чертеже.

Определение. Произведением вектора на число l называется такой вектор , что

1. ­­ , если l > 0, и ­¯ , если l < 0 ;

2. | | = |l|·| |.

Пишем = l. (Часто еще добавляют  3. если l = 0, то = . Но это следует из  2.)

Свойства операции умножения вектора на число.

1. l( + ) = l + l;  3. (l + m) = l + m;

2. l(m ) = (lm);  4. 1· = .

Доказательство. 1. Пусть

Подпись: (**) = , = ,

 l= , l = .

Тогда по правилу треугольника

 + = , l + l = .

Нам требуется доказать, что l( + ) = .

Из (**) вытекает по-добие треугольников ΔOAB ~ ~ ΔOA1B1 по двум сторонам и углу между ними. Поэтому | | и || = l||.

Отсюда, с учетом + = , вытекает l( + ) = . На первом рисунке изображен случай l > 0, а на втором – l < 0. В случае же l = 0, обе части равенства дают .


Скалярное произведение векторов