Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая  на плоскости задана уравнением  и точка имеет координаты  (рис. 25). Обозначим  – основание перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую , ,  расстояние от точки  до прямой . Тогда , а  нормальный вектор прямой. Рассмотрим скалярное произведение . С одной стороны, , так как , следовательно, угол между ними или . С другой стороны, , но точка , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению , откуда , поэтому . Приравнивая выражения, получим

. Тогда  или

.  (2.21)

 

Рис. 25

  Операции над векторами.

Определение. Пусть заданы два вектора и . Отложим вектор  от произвольной точки O: = , а из точки A отложим вектор : = . Пусть – вектор, который задается направленным отрезком . Тогда называется суммой векторов и .

Пишем  = + .

 Этот способ построения суммы двух векторов называется правилом треугольника.

Однако, в нашем определении использо­валась произвольная точка O. Возникает вопрос: что если мы начнем построение от другой точки O1? Не получится ли другой вектор ? Другими словами, требуется еще доказать, что наше определение корректно. Самостоятельно докажите, пользуясь чертежом, что (~ & ~) Þ ~.

Свойства операции сложения векторов.

" , , выполнено

1. + = + (коммутативность);

2. ( + ) + = (ассоциативность);

3. + = . 

4. $! такой что + = . Этот вектор называется противоположным вектором к и обозначается – .

Доказательство. 1. Отложим и от одной точки O: = , = . Достроим ΔOAB до параллелограмма OACB. Пусть = . Очевидно, что ~, т.е. = . Тогда по правилу треугольника + = . С другой стороны, ~, Þ = и по правилу треугольника + = .

Данный способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.

2. Доказательство обозначено на чертеже. Здесь мы видим, что с одной стороны, ( + ) + = = , а с другой стороны, + ( + ) = .

Это свойство позволяет использовать обозначение + + без расстановки скобок.

3. Пусть = , а можем задать с помощью направленного отрезка . Тогда по правилу треугольника + = . Значит, + = .

4. Пусть = . Зададим = . Тогда по правилу треугольника + = . Значит, + = . Тем самым мы доказали существование противоположного вектора. Докажем единственность.

Предположим, что существует еще один вектор такой что + = . Прибавим к последнему равенству справа и слева вектор :

( + ) + = + . 

Используя свойства 1 и 2  получаем

( + ) + = + Þ + = + Þ = .

Определение. Разностью двух векторов и называется такой вектор , что + = . Пишем = – .

Докажем, что разность векторов существует и определяется однозначно.

Отложим и от одной точки O: = , = , и пусть = . Тогда по правилу треугольника + = (*). Значит, разность двух векторов существует.

Докажем единственность. Прибавим справа и слева к к равенству (*) вектор – :

( + ) + (– ) = + (– ).

Используя свойства 1 и 2 получаем

+ = + (– ) Þ = + (– ).

Тем самым мы доказали, что – = + (– ). А поскольку единственность противоположного вектора мы уже доказали, то и разность определяется однозначно. Кроме того, мы увидели, как построить разность на чертеже.

Определение. Произведением вектора на число l называется такой вектор , что

1. ­­ , если l > 0, и ­¯ , если l < 0 ;

2. | | = |l|·| |.

Пишем = l. (Часто еще добавляют  3. если l = 0, то = . Но это следует из  2.)

Свойства операции умножения вектора на число.

1. l( + ) = l + l;  3. (l + m) = l + m;

2. l(m ) = (lm);  4. 1· = .

Доказательство. 1. Пусть

Подпись: (**) = , = ,

 l= , l = .

Тогда по правилу треугольника

 + = , l + l = .

Нам требуется доказать, что l( + ) = .

Из (**) вытекает по-добие треугольников ΔOAB ~ ~ ΔOA1B1 по двум сторонам и углу между ними. Поэтому | | и || = l||.

Отсюда, с учетом + = , вытекает l( + ) = . На первом рисунке изображен случай l > 0, а на втором – l < 0. В случае же l = 0, обе части равенства дают .


Скалярное произведение векторов