Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Пусть – заданная точка на прямой ,  – угол наклона прямой к оси ,  (рис. 23). В качестве направляющего вектора прямой  возьмем единичный вектор . Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами, поэтому , но . Используя уравнение (2.15), получим , или . Обозначив  ( – угловой коэффициент прямой), получим уравнение

.  (2.18)

 

Рис. 23

Выразив из (2.18) :  и обозначив , получим

.  (2.19)

(2.18), (2.19) – уравнения прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (2.19)  – ордината точки пересечения прямой с осью .

Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов. Пусть  и  – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ; затем от точки Аотложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается  (рис. 1).

Рис. 1

Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы  и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор  – диагональ параллелограмма – является суммой векторов  и  (рис. 2).

Рис. 2

Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 3).

Рис. 3

Вычитание векторов. Разностью  векторов  и  называется такой вектор , который в сумме с вектором  дает вектор  Û .

Если векторы  и  привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).

Рис. 4

Таким образом, если на векторах  и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю, – разности  (рис. 5).

Рис. 5

 


Скалярное произведение векторов