Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Пусть  – заданная точка на прямой ,  – вектор, параллельный прямой, его называют направляющим вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой  (рис. 22). Тогда

  ,

. (2.15)

(2.15) – каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

 

Рис. 22

В частности, если прямая  параллельна оси , то ее направляющий вектор , и каноническое уравнение имеет вид , или . Если , то , и каноническое уравнение прямой , или .

Если в уравнении (2.15) величину отношения положить равной  
( – параметр, переменная величина, ):

, , то, выразив  и  из уравнений, получим

, .  (2.16)

(2.16) – параметрические уравнения прямой.

Пусть на прямой  заданы две точки  и . Тогда вектор  является направляющим вектором прямой и, используя уравнение (2.15), можно записать

. (2.17)

(2.17) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Векторы. Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор , AB, a (А – начало вектора, В – его конец).

Нулевым вектором (обозначается ) называется вектор, начало и конец которого совпадают.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем, или абсолютной величиной (обозначается ).

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых (обозначают , а также , если векторы сонаправлены, и , если они противоположно направлены).

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены () и имеют равные длины (). Обозначают .

Для каждого вектора , отличного от нулевого вектора, существует противоположный вектор, который обозначается  и удовлетворяет условиям: .

 


Скалярное произведение векторов