Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Прямая на плоскости

Пусть  – заданная точка на прямой ,  – вектор, перпендикулярный прямой , его называют нормальным вектором прямой, и пусть  – произвольная точка прямой  (рис. 20). Тогда , , то есть

.  (2.12)

(2.12) – уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

 

Рис. 20

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в (2.12), получим . Обозначим , уравнение примет вид

.  (2.13)

(2.13) – общее уравнение прямой на плоскости.

Если в уравнении (2.13) , , , то, перенеся слагаемое С в правую часть и разделив на него обе части уравнения, получим

, или . Обозначим , , тогда уравнение примет вид

 (2.14)

(2.14) – уравнение прямой в отрезках, здесь a и b – отрезки, отсекаемые прямой на осях координат (рис. 21): из уравнения (2.13) при  получим , а при   .

 

Рис. 21

Дан треугольник с вершинами А(1,-1), В(0,3), С(5,-2). Написать:

а) уравнения высоты ВМ треугольника и её длину;

б) угол при вершине С;

с) уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно ВС.

Решение.

а) Высота ВМ проведена из вершины В перпендикулярно к прямой АС, поэтому необходимо написать уравнение прямой АС. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через 2 заданные точки: . Для нашей задачи: , откуда: . Уравнение прямой АС: . Угловой коэффициент данной прямой . Из условия перпендикулярности, . Воспользуемся уравнением пучка прямых: . Подставляя вместо  - , вместо  - координаты точки В, получим: , окончательно уравнение ВМ: . Длину высоты ВМ можно определить как расстояние от точки В до прямой АС по формуле: . Здесь А,В,С – коэффициенты из уравнения ВМ,  - координаты точки В. .

б) Для определения угла при вершине С необходимы угловые коэффициенты прямых АС и ВС. Нам известен , для определения  запишем уравнение ВС: , или . Уравнение ВС: , . Тангенс угла можно найти по формуле: . Для определения острого угла между прямыми необходимо взять тангенс по модулю. Тогда: .

с) Данный пункт задачи решается с использованием уравнения пучка прямых, поэтому необходимо определить координаты точки М. Это достигается решением совместно уравнений прямых АС и ВМ:  и . В результате решения, получаем: . В уравнение пучка прямых  подставляем  в силу параллельности прямых,  - координаты точки М. Имеем следующее равенство: , или . Задача решена.

 


Скалярное произведение векторов