Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Теорема. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы , ,  компланарны. Можно считать, что они лежат в одной плоскости. Тогда вектор  перпендикулярен этой плоскости, следовательно, ,

а значит, их скалярное произведение равно нулю, то есть .

Достаточность. Пусть . Предположим, что векторы некомпланарны. Но тогда существует параллелепипед, построенный на этих векторах, объем которого , а это противоречит условию . Следовательно, предположение неверно, и векторы компланарны.

Пример 10. Доказать, что точки , ,  и  лежат в одной плоскости.

Решение. Достаточно показать, что векторы ,  и компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю. , , ;

.

Пример 11. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах , , . Правой или левой является тройка векторов , , ?

Решение. Найдем смешанное произведение этих векторов:

.

, значит, векторы образуют левую тройку; .

Определить точку пересечения прямых:  и .

Решение.

Решая уравнения совместно, умножим второе на 3:

, .

Вычитая, получим: , откуда . Умножая первое уравнение на 3, второе на 2 и вычитая из первого второе, получим: , откуда . Итак, координаты точки пересечения данных прямых: , .

4.3 Составить уравнение прямой линии, проходящей через точку пересечения прямых   и  перпендикулярно прямой .

Решение.

Из предыдущей задачи (4.2) находим координаты точки пересечения: , . В силу условия перпендикулярности искомой прямой к прямой , её угловой коэффициент . Следовательно, уравнение прямой линии будет:, или , или , откуда: .

4.4 Составить уравнение прямой линии, проходящеё через точки А(1,2) и В(-1,1).

Решение.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через 2 заданные точки: . Для нашей задачи: , откуда: ; окончательно .

 


Скалярное произведение векторов