Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Смешанное произведение векторов

Смешанным, или векторно-скалярным произведением трех векторов (обозначается ) называется произведение вида .

Пусть известны координаты векторов: , , . Векторное произведение векторов и – это вектор с координатами

.

Скалярное произведение вектора  на вектор :

Таким образом,

. (2.11)

Нетрудно показать, что . 

Отложим данные некомпланарные векторы , ,  от общего начала и построим на них как на ребрах параллелепипед (рис. 18).

 

Рис. 18

По определению скалярного произведения   , где – угол между векторами  и . Но  – площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , а , где  – высота параллелепипеда. Таким образом, .

Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Можно записать: .

Объем тетраэдра, построенного на векторах , ,  (рис. 19) равен .

Рис. 19

Заметим, что если векторы , , образуют правую тройку, то  и` , а если левую, то  и .

Векторы {1,0,0}, {1,1,0}, {1,1,1} образуют базис в пространстве. Найти координаты вектора  в базисе , , .

Решение.

Произвольный вектор  можно разложить в базисе , ,  следующим образом: . При этом получим: , или .

Приравнивая соответствующие координаты векторов, имеем:; решая представленную систему уравнений, получаем , , . Таким образом, вектор  в новом базисе имеет координаты {2,1,-1}, а его разложение в базисе , ,  записывается в виде: .

4. Примеры решения задач по аналитической геометрии на плоскости.

4.1 Уравнение прямой  привести к нормальному виду, получить уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Решение.

а) Нормирующий множитель: . Умножая на него все слагаемые общего уравнения прямой, получаем: . Для данной прямой, следовательно, имеем: , , .

б) Для получения уравнения прямой в отрезках переносим свободный член вправо, и делим на него всё уравнение:

, , ;

в) Чтобы получить уравнение прямой с угловым коэффициентом, выразим из общего уравнения прямой у:

, .

 


Скалярное произведение векторов