Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Пример. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах  и .

Решение. Диагоналями параллелограмма являются векторы  и  (см. рис. 5). Тогда , , , следовательно,  – угол между диагоналями равен .

Пример 7. Дано: , , , . Вычислить – длину вектора .

Решение. Из свойства (5) скалярного произведения ; но , , , следовательно, .

 Примеры решения задач по векторной алгебре.

Найти длину и направление вектора , если В(2,1,-1), С(3,-2,1).

Решение.

Вычислим координаты вектора , для чего вычтем из координат конца вектора (точка С) соответствующие координаты начала вектора (точка В): (3-2,-2-1,1- -1). Имеем (1,-3,2). Для определения длины воспользуемся формулой: , где x, y, z – соответствующие координаты. Тогда  ; .

Чтобы определить направление вектора, вычислим направляющие косинусы по формулам: ; ; . Для нашей задачи: ; ; .

3.2 Даны векторы , {-1,2,3}. Определить длину и направление вектора .

Решение.

Определим координаты вектора . Координаты , . Тогда . Длина :

Может ли вектор образовывать с осями координат X, Y, Z углы 900, 450, и 600 соответственно? 

Решение.

Проверяем формулу: .Если выполняется – значит, вектор может образовывать данные углы. Для нашей задачи: . Вектор не может образовывать такие углы.

Даны точки А(1,1,0), В(1,0,-1), С(0,1,-1), D(-2,-1,3). Будут ли вектора   и  взаимно перпендикулярны? Сначала определим координаты векторов  и . Имеем: ={0-1,1-1,-1-0}={-1,0,-1}, ={-2-1,-1-0,3-(-1)}={-3,-1,4}. Условием перпендикулярности является равенство нулю скалярного произведения, то есть . Проверяем данное равенство: . Ответ: данные векторы не перпендикулярны.

 


Скалярное произведение векторов