Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов (обозначается или ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

Учитывая, что , , можно записать: . Отсюда

. (2.8)

Из физики известно: если – постоянная сила, действующая на материальную точку, а  – вектор перемещения точки под действием этой силы, то работа, совершаемая силой  на участке l, равна .

Свойства скалярного произведения:

1)     ;

2)     ;

3)     ;

4)     , или , или .

Таким образом,  – условие перпендикулярности векторов.

5)          , или, обозначая  (скалярный квадрат вектора ), получим , откуда .

Пусть известны координаты векторов  и : , .

Тогда  

Таким образом, . (2.9)

Пример 12. Прямая  задана уравнением . Составить уравнения а) прямой , проходящей через точку  параллельно прямой ; б) прямой , проходящей через начало координат перпендикулярно прямой .

Решение. 1-й способ. Из уравнения прямой  определим нормальный вектор этой прямой . Этот вектор перпендикулярен и прямой  (рис. 26). Таким образом, для  известен нормальный вектор  и точка . Воспользуемся уравнением (2.12):  или  – уравнение . Для прямой  вектор  является направляющим  и точка . Воспользуемся уравнением(2.15): , или , или  – уравнение .

Рис. 26

2-й способ. Запишем уравнение прямой  в виде . Найдем угловой коэффициент прямой . Прямая , следовательно, ее угловой коэффициент ; прямая , поэтому ее угловой коэффициент . Зная угловой коэффициент прямой и координаты точки на этой прямой, можно воспользоваться уравнением (2.18). Получим уравнение прямой  или, умножив обе части на 3, , и уравнение прямой , то есть .

Пример 13. В треугольнике с вершинами  составить уравнения медианы , высоты , найти длину высоты  (рис. 27).

Рис. 27

Решение.  – середина отрезка, ее координаты найдем по формулам (2.7): , то есть . Таким образом, на медиане известны две точки  и . Воспользуемся уравнением (2.17): , или  – уравнение медианы . Его можно привести к виду . Для составления уравнения высоты  найдем  – нормальный вектор прямой ВН. Воспользуемся уравнением (2.12): . Разделив на 4 и раскрыв скобки, получим  – уравнение. Составим уравнение прямой , используя уравнение (2.15) и рассматривая  как направляющий вектор: , или . Тогда длину высоты  найдем по формуле (2.21) как расстояние от точки  до прямой .


Скалярное произведение векторов