Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов (обозначается или ) называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: , где .

Учитывая, что , , можно записать: . Отсюда

. (2.8)

Из физики известно: если – постоянная сила, действующая на материальную точку, а  – вектор перемещения точки под действием этой силы, то работа, совершаемая силой  на участке l, равна .

Свойства скалярного произведения:

1)     ;

2)     ;

3)     ;

4)     , или , или .

Таким образом,  – условие перпендикулярности векторов.

5)          , или, обозначая  (скалярный квадрат вектора ), получим , откуда .

Пусть известны координаты векторов  и : , .

Тогда  

Таким образом, . (2.9)

Пример 12. Прямая  задана уравнением . Составить уравнения а) прямой , проходящей через точку  параллельно прямой ; б) прямой , проходящей через начало координат перпендикулярно прямой .

Решение. 1-й способ. Из уравнения прямой  определим нормальный вектор этой прямой . Этот вектор перпендикулярен и прямой  (рис. 26). Таким образом, для  известен нормальный вектор  и точка . Воспользуемся уравнением (2.12):  или  – уравнение . Для прямой  вектор  является направляющим  и точка . Воспользуемся уравнением(2.15): , или , или  – уравнение .

Рис. 26

2-й способ. Запишем уравнение прямой  в виде . Найдем угловой коэффициент прямой . Прямая , следовательно, ее угловой коэффициент ; прямая , поэтому ее угловой коэффициент . Зная угловой коэффициент прямой и координаты точки на этой прямой, можно воспользоваться уравнением (2.18). Получим уравнение прямой  или, умножив обе части на 3, , и уравнение прямой , то есть .

Пример 13. В треугольнике с вершинами  составить уравнения медианы , высоты , найти длину высоты  (рис. 27).

Рис. 27

Решение.  – середина отрезка, ее координаты найдем по формулам (2.7): , то есть . Таким образом, на медиане известны две точки  и . Воспользуемся уравнением (2.17): , или  – уравнение медианы . Его можно привести к виду . Для составления уравнения высоты  найдем  – нормальный вектор прямой ВН. Воспользуемся уравнением (2.12): . Разделив на 4 и раскрыв скобки, получим  – уравнение. Составим уравнение прямой , используя уравнение (2.15) и рассматривая  как направляющий вектор: , или . Тогда длину высоты  найдем по формуле (2.21) как расстояние от точки  до прямой .


Скалярное произведение векторов