Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Пример. Показать, что точки , ,  лежат на одной прямой, причем A – между B и C.

Решение. Рассмотрим векторы  и (рис. 15). Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то векторы  и должны быть кол-линеарны (условие 2.4). А если точка A лежит между B и C, то  и должны быть сонаправлены (коэффициент пропорциональности координат ) и . Проверим выполнение этих условий.

, ; , следовательно,

. Координаты вектора  больше, значит, он длиннее и точка A лежит между B и C.

 

Рис. 15

Угол между двумя прямыми. Пусть прямые  и  заданы соответственно уравнениями , где . Обозначим  угол между прямыми:  (рис. 24). Тогда .

Рис. 24

Таким образом,

.                                                  (2.20)

Если , то , а следовательно, , то есть k1= k2.

Если , то  не определен, , следовательно, , или .

Если прямые  и  заданы соответственно уравнениями

, где  – нормальные векторы прямых, то, или .

Если , то , следовательно, .

Если , то есть .

Расстояние от точки до прямой. Пусть прямая  на плоскости задана уравнением  и точка  имеет координаты  (рис. 25). Обозначим  – основание перпендикуляра, опущенного из точки  на прямую  – расстояние от точки  до прямой . Тогда , а  – нормальный вектор прямой. Рассмотрим скалярное произведение . С одной стороны, , так как , следовательно, угол между ними или. С другой стороны, , но точка , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению , откуда , поэтому . Приравнивая выражения, получим

. Тогда  или

.                                                 (2.21)

Рис. 25

 


Скалярное произведение векторов