Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Деление отрезка в данном отношении

Пример. Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт вектора  (рис. 14).

Решение. AD – медиана, следовательно, D – середина
отрезка BC, ее координаты находятся по формулам (2.7):
, , , то есть . Медианы точкой пересечения K делятся в отношении 2:1, значит, , тогда по формулам (2.6) найдем координаты точки K: , , . Таким образом, точка пересечения медиан – . Найдем координаты вектора  по формуле (2.3) и его длину по формуле (2.2): ; . Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами. По формулам (2.5) , , , следовательно,  – орт вектора .

 

Рис. 14

Прямая на плоскости

Пусть  – заданная точка на прямой  – вектор, перпендикулярный прямой , его называют нормальным векторомпрямой, и пусть  – произвольная точка прямой  (рис. 20). Тогда , то есть

.                                       (2.12)

(2.12) – уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Рис. 20

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в (2.12), получим . Обозначим , уравнение примет вид

.                                                        (2.13)

(2.13) – общее уравнение прямой на плоскости.

Если в уравнении (2.13), то, перенеся слагаемое С в правую часть и разделив на него обе части уравнения, получим

, или . Обозначим , тогда уравнение примет вид

                                                         (2.14)

(2.14) – уравнение прямой в отрезках, здесь a и b – отрезки, отсекаемые прямой на осях координат (рис. 21): из уравнения (2.13) при  получим , а при  .

Рис. 21

Пусть  – заданная точка на прямой  – вектор, параллельный прямой, его называют направляющим вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой  (рис. 22). Тогда

 

.                                                         (2.15)

(2.15) – каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

Рис. 22

В частности, если прямая  параллельна оси , то ее направляющий вектор , и каноническое уравнение имеет вид , или. Если , то , и каноническое уравнение прямой , или .

Если в уравнении (2.15) величину отношения положить равной  
( – параметр, переменная величина, ):

, то, выразив  и  из уравнений, получим

.                                  (2.16)

(2.16) – параметрические уравнения прямой.

Пусть на прямой  заданы две точки  и . Тогда вектор  является направляющим вектором прямой и, используя уравнение (2.15), можно записать

.                                          (2.17)

(2.17) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть – заданная точка на прямой  – угол наклона прямой к оси  (рис. 23). В качестве направляющего вектора прямой  возьмем единичный вектор . Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами, поэтому , но . Используя уравнение (2.15), получим , или . Обозначив  ( – угловой коэффициент прямой), получим уравнение

.                                               (2.18)

Рис. 23

Выразив из (2.18)  и обозначив , получим

.                                                       (2.19)

(2.18), (2.19) – уравнения прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (2.19)  – ордината точки пересечения прямой с осью .


Скалярное произведение векторов