Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Деление отрезка в данном отношении

Пример. Даны вершины треугольника , , . Найти точку пересечения медиан этого треугольника и орт вектора  (рис. 14).

Решение. AD – медиана, следовательно, D – середина
отрезка BC, ее координаты находятся по формулам (2.7):
, , , то есть . Медианы точкой пересечения K делятся в отношении 2:1, значит, , тогда по формулам (2.6) найдем координаты точки K: , , . Таким образом, точка пересечения медиан – . Найдем координаты вектора  по формуле (2.3) и его длину по формуле (2.2): ; . Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами. По формулам (2.5) , , , следовательно,  – орт вектора .

 

Рис. 14

Прямая на плоскости

Пусть  – заданная точка на прямой  – вектор, перпендикулярный прямой , его называют нормальным векторомпрямой, и пусть  – произвольная точка прямой  (рис. 20). Тогда , то есть

.                                       (2.12)

(2.12) – уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Рис. 20

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в (2.12), получим . Обозначим , уравнение примет вид

.                                                        (2.13)

(2.13) – общее уравнение прямой на плоскости.

Если в уравнении (2.13), то, перенеся слагаемое С в правую часть и разделив на него обе части уравнения, получим

, или . Обозначим , тогда уравнение примет вид

                                                         (2.14)

(2.14) – уравнение прямой в отрезках, здесь a и b – отрезки, отсекаемые прямой на осях координат (рис. 21): из уравнения (2.13) при  получим , а при  .

Рис. 21

Пусть  – заданная точка на прямой  – вектор, параллельный прямой, его называют направляющим вектором прямой, и пусть – произвольная точка прямой  (рис. 22). Тогда

 

.                                                         (2.15)

(2.15) – каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.

Рис. 22

В частности, если прямая  параллельна оси , то ее направляющий вектор , и каноническое уравнение имеет вид , или. Если , то , и каноническое уравнение прямой , или .

Если в уравнении (2.15) величину отношения положить равной  
( – параметр, переменная величина, ):

, то, выразив  и  из уравнений, получим

.                                  (2.16)

(2.16) – параметрические уравнения прямой.

Пусть на прямой  заданы две точки  и . Тогда вектор  является направляющим вектором прямой и, используя уравнение (2.15), можно записать

.                                          (2.17)

(2.17) – уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть – заданная точка на прямой  – угол наклона прямой к оси  (рис. 23). В качестве направляющего вектора прямой  возьмем единичный вектор . Координаты единичного вектора совпадают с его направляющими косинусами, поэтому , но . Используя уравнение (2.15), получим , или . Обозначив  ( – угловой коэффициент прямой), получим уравнение

.                                               (2.18)

Рис. 23

Выразив из (2.18)  и обозначив , получим

.                                                       (2.19)

(2.18), (2.19) – уравнения прямой с угловым коэффициентом. В уравнении (2.19)  – ордината точки пересечения прямой с осью .


Скалярное произведение векторов