Вычисление производной примеры решения задач Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия Вычитание векторов Скалярное произведение векторов Кривые второго порядка Прямая в пространстве

Векторная алгебра и аналитическая геометрия примеры решения задач

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы. Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор , , , , AB, a (А – начало вектора, В – его конец).

Нулевым вектором (обозначается ) называется вектор, начало и конец которого совпадают.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем, или абсолютной величиной (обозначается , ).

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых (обозначают , а также , если векторы сонаправлены, и , если они противоположно направлены).

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены ( ) и имеют равные длины ( ). Обозначают .

Для каждого вектора , отличного от нулевого вектора, существует противоположный вектор, который обозначается  и удовлетворяет условиям: , .

Проекция вектора на ось

Углом между двумя ненулевыми векторами  и  называется наименьший угол (), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Предварительно нужно привести векторы к общему началу О (рис. 7).

Рис. 7

Под углом между вектором  и осью  понимают угол между векторами  и  (рис. 8).

Рис. 8

Пусть  – некоторая ось, а  – вектор, произвольно распо-ложенный в пространстве. Обозначим  и  – проекции на ось  соответственно начала А и конца В этого вектора (рис. 9). Вектор называется составляющей вектора  по оси .

Рис. 9

Проекцией вектора  на ось  (обозначается пр) называется длина его составляющей  по этой оси, взятая со знаком «плюс», если , и со знаком «минус», если .

Очевидно, что пр, если вектор  образует острый угол с осью ; пр, если этот угол тупой; пр, если .

Если известны координаты точек  и  на оси: , то пр.

Нетрудно доказать свойства проекций:

1)     Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

2)     прпрпр.

3)     прaпр.

4)     пр, где  – угол между вектором и осью.

Заметим, что проекция вектора на ось и его составляющая связаны соотношением состпр


Скалярное произведение векторов