Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Дифференцирование функций, заданных неявно

Пусть значения переменных х и у связаны уравнением

F(x, y) = 0. (1)

Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция. Итегралы вычисление площади и обьема примеры решений задач типового расчета по математике

Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, то есть не представляя в виде y = f(x), так как часто это преобразование бывает технически сложным или невозможным.

Для нахождения производной у'х неявной функции, нужно продифференцировать по х обе части равенства (1), учитывая, что у есть функция от х. Затем из полученного равенства выразить у'х.

Пример 1. Вычислить у'х.

У5+ху-х2 = 0

Продифференцируем обе части по х. Получим 5у4у'+у+ху'-2х=0. Выразим у'. y'(5у4) = 2х-у, у' = (2х-у)/(5у4).

Задача 6. Вычислить пределы

a) ;  b) .

Решение. a) В данном пределе переменная не стремится к нулю и использование эквивалентностей затруднительно. Поэтому вводим новую переменную   которая стремится к 0 при . Тогда  и предел принимает вид:

Числитель преобразуем используя свойства логарифмов, а в знаменателе применим формулу приведения:

Предел принимает вид

.

Теперь можно использовать эквивалентности для логарифма и косинуса, а именно: при

Окончательно имеем

Замечание. Вообще говоря, из эквивалентности  не следует эквивалентность  т.е. использование эквивалентностей под знаком функций недопустимо. Однако, если  – степенная функция, этот запрет недействителен в силу непрерывности степенной функции и одного из свойств степени:

b) Функция, стоящая под знаком предела – сложная степенно-показательная функция. Для работы с такой функцией используют основное логарифмическое тождество

и непрерывность показательной функции

Имеем в нашем случае:

.

Чтобы воспользоваться эквивалентностью для логарифма ( при ), запишем выражение, стоящее под знаком  в требуемой форме

Теперь  при   и поэтому

.

Эквивалентность для показательной функции имеет вид

  при .

Тогда   т.к.  при . Итак, имеем для логарифма  при . Кроме того,

  при

(в силу эквивалентности для тангенса  при ). Окончательно имеем

Ответ:  a)

 b)


Вычислить произведение матриц