Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Производные высших порядков

Предположим, что функция y = f(x) дифференцируема в некотором интер­вале (а, в). Тогда ее производная f'(x) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции y = f(x)и обозначается y'' или f''(x).

Таким образом, f''(x) = (f'(x)) '. При этом f'(x) называется первой произ­водной или производной первого порядка функции f(x).

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, производной n –го порядка функции y = f(x) в точке х называ­ется первая производная производной (n-1)-го порядка функции y = f(x) при ус­ловии, что в точке х существуют все производные от первого до n –го порядков. Обозначение: y(n) или f(n)(x). Таким образом, f(n)(x) = ( f(n-1)(x)) '.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Примеры.

1.                 Найти у''' для функции y = cos2x.

y' = 2cosx(-sinx) = -sin2x

y'' = -2cos2x

y''' = 4sin2x

2.                 Найти y(n) для функции y = e3x, y' = 3e3x, y'' = 32e3x, y''' = 33e3x,…, y(n) = 3ne3x

Механический смысл второй производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t-время, f(t) – путь, пройденный за время t. Из физики известно, что при этом ускорение точки в момент времени t равно производной скорости по t. Таким образом, ускорение w(t) = v'(t) = S''(t) равно второй производной пути по времени.

Дифференцирование функций, заданных параметрически Если функция y = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию y = f(x) неявно или что функция y = f(x) есть неявная функция.

Задача 3. Найти предел последовательности с общим членом

Решение. В записи для  каждое из слагаемых не меньше последнего слагаемого и не больше первого. Поэтому, заменяя каждое из  слагаемых первым или последним, получим для общего члена данной последовательности двойную оценку

.

Вычислим пределы крайних членов этого двойного неравенства:

Используя достаточное условие сходимости делаем вывод: .

{Достаточное условие сходимости: если члены трех последовательностей удовлетворяют неравенству и последовательности  и  имеют один и тот же предел , то и последовательность  имеет “число”  своим пределом}.

Ответ:

Задача 4. Доказать сходимость последовательности с общим членом

Решение. Учитывая запись для общего члена

,

получим рекуррентное соотношение , из которого следует неравенство . Итак, данная последовательность монотонно возрастает. Далее, учитывая, что , получим для каждого слагаемого в выражении для  оценку

Отсюда нетрудно получить оценку и для

Итак, данная последовательность ограниченная. Учитывая доказанную выше монотонность, можно сказать: на основании теоремы о пределе монотонной последовательности данная последовательность имеет конечный предел, т.е. сходится, что и требовалось доказать.


Вычислить произведение матриц