Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Производная степенной функции с любым действительным показателем

Известно, что (xn)' = nxn-1 для натурального n. Пусть теперь n любое дейст­вительное число и х>0. Справедливо тождество xn = enlnx. Тогда у = enlnx – сложная функция и ее производная вычисляется следующим образом: y' = (enlnx)' = enlnx(nlnx)' = enlnx =   xn = nxn-1. Итак, при любом действительном n и х>0 верна формула (xn)' = nxn-1. Можно показать, что эта формула справедлива и при х<0, если при этом функция y = xn определена.

Таблица формул дифференцирования

В таблице приняты обозначения: с, n – любые действительные числа; а – любое положительное действительное число, кроме единицы. u= u(x) – функция, дифференцируемая в точке х, y = f (u) – функция, дифференцируемая в соответствующей точке u. Таблица составлена на основании формул дифференцирования основных элементарных функций и теоремы о производной сложной функции.

1.(с)' = 0

8. ,

2. (un)' = nun-1u'

9.

3. (au) = aulnau'

10.

3а. (eu) = euu'

11.

4.

4а.

13. (chu)' = shu×u'

5. (sinu)' = cosu×u'

14.

6.(cosu)' = -sinu ×u'

15.

7.  

16.

Задача 2. Вычислить предел последовательности с общим членом

Решение. Каждую дробь-слагаемое в выражении для  можно представить в виде суммы (или разности) дробей. Для этого знаменатель дроби разложим на множители (предварительно найдя корни соответствующего квадратного уравнения):

После этого можем записать  Чтобы найти коэффициенты  и , приведем сумму дробей к общему знаменателю и приравняем числители полученной дроби и исходной:

Равенство числителей есть не что иное, как тождественное равенство двух многочленов (от переменной ). Отсюда следует, что соответствующие коэффициенты этих многочленов равны. Получаем систему:

Решив ее, получаем:

Итак, каждое слагаемое в выражении для  можно записать в виде разности 2х дробей

.

Тогда для общего члена данной последовательности имеем:

Теперь легко найти искомый предел

{последовательность с общим членом  является бесконечно малой, ибо

а  – эталонная бесконечно малая;

аналогично и  также бесконечно малая}.

Ответ: .


Вычислить произведение матриц