Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Примеры. Найти производную функции.

1.      у = lnarctgx

 .

2. y = cos3(x2)

y' = 3cos2(x2)(-sin(x2))2x = -6xsin(x2)cos2(x2)

3.

.

 

Производные гиперболических функций

, поэтому

Аналогично: (chx)' = shx.

Аналогично:

Часть 1. Решение типовых задач

Задача 1. Вычислить предел последовательности с общим членом

,

используя теорему о пределе монотонной последовательности.

Решение. Сначала исследуем последовательность на монотонность. Для этого преобразуем выражение для :

Вычислим пределы второго и третьего множителя полученного произведения:

{ (1) – знак предела можно вносить под знак элементарной функции ;

  (2) – второй замечательный предел };

{ (1) – последовательность  – бесконечно малая, как эталонная, последовательность  – бесконечно малая, как произведение постоянной и бесконечно малой;

  (2) –  и теорема о пределе частного }

Итак, для данной последовательности имеем рекуррентное соотношение

,

где   { теорема о пределе произведения }.

Так как предел последовательности  меньше 1, то и члены последовательности, начиная с некоторого номера , удовлетворяют тому же неравенству: . Очевидно, что члены данной последовательности положительны, поэтому из (1) получаем:

.

Таким образом, последовательность  ограничена снизу и убывает, начиная с некоторого номера. Следовательно, по теореме о пределе монотонной последовательности {всякая ограниченная монотонная последовательность имеет конечный предел} существует

.

Перейдем к пределу в рекуррентном соотношении (1):

Предел, стоящий в левой части этого равенства также равен , т.к.  пробегает те же значения, что и  (с точностью до 1го члена). Для вычисления предела, стоящего в правой части, имеем право воспользоваться теоремой о пределе произведения {предел произведения сходящихся последовательностей равен произведению их пределов}

Итак, имеем

.

Отсюда получаем .

Ответ:


Вычислить произведение матриц