Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у = f--1(x) имеет производную [f--1(x)]', причем

  или

Доказательство. По условию теоремы функция x = f(y) монотонна и дифференци­руема, следовательно, по теореме о существовании обратной функции функция у = f--1(x) существует, монотонна и непрерывна на соответствующем интервале. Дадим аргументу х приращение Δх¹0. Тогда функция у = f--1(x) получит приращение Δу, которое в силу ее монотонности отлично от нуля. Так как функция у = f--1(x) непрерывна, то Δу®0 при Δх®0. Тогда .

Пользуясь доказанной теоремой, вычислим производные обратных триго­нометрических функций. Для функции у = arcsinx обратной является функция x = siny, которая является в интервале   монотонной и дифференцируе­мой. Ее производная x' = cosy в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому . Таким образом .

Аналогично получаются формулы

Пусть y = f(u) и u = g(x). Тогда функция y = f(g(x)) называется сложной функ­цией от х.

Теорема 1. Если функция u=g(x) имеет производную u'x в точке х, а функ­ция y = f(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u, то сложная функция y = f(g(x)) в точке х имеет производную у'x, причем у'x = у'u× u'x.

Доказательство. Дадим х приращение Δх. Тогда u и у получат соответст­венно приращения Δu и Δу. Будем считать, что Δu при Δх®0 не принимает значений, равных нулю. Тогда . Так как функция u = g(x) дифференцируема, а следовательно, непрерывна, то Δu®0 при Δх®0. Поэтому . Тогда . Это означает, что у'x = у'u× u'x.

Заметим, что теорема верна и в случае, когда при Δх®0 Δu принимает значения, равные нулю.

2) Функция дифференцируема всюду при , при этом

3) Функция непрерывно-дифференцируема при .

Задача 11. Найти  для функций, заданной параметрически и неявно:

а)  b)

Решение. a) Если функция задана параметрически уравнениями

то её производная  задается следующей системой параметрических уравнений

В нашем случае:

Поэтому искомая производная имеет вид:

b) При вычислении производной функции, заданной неявно, используют следующие соображения.

При некоторых условиях на выражения с двумя переменными  (эти условия рассматриваются в теме “Функции нескольких переменных”) уравнение вида

разрешимо относительно переменной . Это означает следующее: существует дифференцируемая функция  такая, что имеет место тождество

в некотором интервале изменения переменной . Дифференцируя это тождество по переменной , получим соотношение, из которого легко находится искомая производная . Ясно, что подобные рассуждения применимы и для уравнений вида .

Итак, считая, что в данном уравнении  и рассматривая его как тождество, получим:

Отсюда и получаем

Ответ: a)  b) 


Вычислить произведение матриц