Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Вычисление производной

Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы:

1.      С' = 0, где С – константа.

2.      n) ' = n×xn-1, где n – натуральное число

3.      (ax)'= axlna, где а>0, a ¹ 1. В частности, (ех)' = ех

4.      , где а>0, a ¹ 1. В частности,

5.      (sinx)' = cosx

6.      (cosx)' = -sinx

В курсе средней школы установлены основные правила дифференцирования.

Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u×v, . Последнее при условии, что v(x) ¹ 0. Причем

(u+v)' = u'+v'

(u×v)' = u'v+uv'

Следствием последних трех соотношений являются следующие два: (сu)' = cu', где с – константа, и (u-v)' = u'-v'

Используя правило нахождения производной частного, легко получаются формулы:   и , которые выполняются для любого х, при котором существует tgx и cosx ¹ 0 или существует ctgx и sinx¹0.

Задача 10. Функцию

исследовать на: 1) непрерывность; 2) дифференцируемость; 3) непрерывную-дифференцируемость.

Решение. 1) Данная функция может иметь разрыв лишь в точке  (см. задачу 8). Для  функция имеет в этой точке разрыв 2го рода, ибо представляет собой произведение множителя , который не имеет предела при , и постоянной () или бесконечно большой ().

Для   функция является бесконечно малой при , как произведение эталонной бесконечно малой  и ограниченной . Значит, для

что означает непрерывность  в т. .

2) Исследуем функцию на дифференцируемость, то есть на существование конечной производной.

Для значений  производную вычисляем используя правила дифференцирования и таблицу производных:

Это выражение для  справедливо для любых значений параметра.

Производную в нуле вычисляем по определению (нельзя писать , ибо значение 0 функция принимает в одной точке , а не в некоторой ее окрестности):

Ситуация с этим пределом аналогична рассмотренной в предыдущем пункте: при   искомая производная равна 0, а при   – не существует.

Итак, для

3) Исследуем производную  на непрерывность. Возможная точка разрыва – .

Если , то этот предел равен 0, т.е. равен , что означает непрерывность производной в нуле. Если же , данный предел не существует (выражение в скобках не имеет предела из-за ).

Замечание. Производную  можно вычислить не по определению, а применив теорему о пределе производной: если  существует для  и если существует , то существует и правая производная в т. , причем  (аналогичное утверждение справедливо и для левой производной). Для данной функции эта теорема срабатывает при . Для  приходится пользоваться определением при вычислении .

Ответ: 1) Функция непрерывна всюду при . При  имеем разрыв 2го рода в точке .


Вычислить произведение матриц