Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Пример . Исследовать функцию   и построить ее график.

1. Область определения   так как при   и х=2 в знаменателе получается нуль.

2. Пусть х=0, тогда у=0.

Пусть у=0, тогда

(0;0) – точка пересечения графика с осями координат.

3. =  – функция нечетная.

4. Функция имеет разрывы в точках х = -2 и х = 2, так как значения f(-2) и f(2) не определены.   ;     Это означает, что в точках   и х = 2 функция имеет разрывы II рода и прямые   и х = 2 являются вертикальными асимптотами.

5. Найдем невертикальные асимптоты.

    следовательно, прямая у=0 является горизонтальной асимптотой при   и .

6.        Вычислим   при всех значениях х, принадлежащих области определения функции. Точки   и х = 2 – критические, так как в них производная не существует.

На интервалах   функция убывает. Экстремумов нет.

7.      Вычислим

y'' = 0; ;

х = 0;   х = 2 – критические точки второго порядка.

На интервалах   и (0;2) график функции выпуклый, а на интервалах (-2;0) и  – вогнутый; х = 0 – абсцисса точки перегиба.

Пример:

 

Т.к.  по формуле (2) и .

Две функции  и , одновременно стремящиеся к нулю или бесконечно при , называется эквивалентными, если . Обозначение: ~.

Предел отношения бесконечно малых величин не изменится, если заменить их эквивалентными или бесконечно малыми величинами.

Пример: Доказать, что ~.

Т.к. , где второе и последнее равенство следуют из свойств логарифмов, а  - второй замечательный предел.

Пример:

, т.к. ~, а ~.

Пример: Указать слагаемое, эквивалентное всей сумме  при . Очевидно, что при  все три слагаемых будут бесконечно малыми. Найдем предел отношения суммы к каждому из слагаемых:

  Следовательно, функция  при  эквивалентна третьему слагаемому, т.е..

На практике для вычисления пределов удобно пользоваться следующими формулами: , если ;

 , если ;

 , если , ;

 , если , .

Если , но , то принято писать . Если , но , то пишут . пределы (если они существуют)

 , и  

называют соответственно пределом слева функции  в точке а и пределом справа функции  в точке а.

Равенство  является необходимым и достаточным условием для существования предела функции  в точке а. Пределы справа и слева называются односторонними.


Вычислить произведение матриц