Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

План исследования функции и построение графика

Исследование функции удобно проводить по следующему плану.

1. Область определения функции.

2. Точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Четность, нечетность функции.

4. Исследование функции на непрерывность. Вертикальные асимптоты.

5. Невертикальные асимптоты.

6. Интервалы монотонности. Экстремумы.

7. Интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба.

8. Дополнительные точки, (по мере необходимости).

9. Построение графика.

Подчеркнем, что пункт 8 не является необходимым. его выполняют, если необходимо уточнить график.

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения ( ).

2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0, тогда   и . Итак, (0;0) и  – точки пересечение графика с осями координат.

3. у() =  – функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция непрерывна во всей области определения. Вертикальных асимптот нет.

5. Невертикальные асимптоты

Найдем k и b, если они существуют.   поэтому при невертикальной асимптоты не существует. Аналогично можно показать, что и при невертикальных асимптот не существует.

6. Вычислим   Найдем критические точки:   х = 1 – критическая точка. Кроме того, y' не существует при х = 0 – тоже критическая точка. Нанесем критические точки на числовую прямую и определим знаки производной в образовавшихся интервалах.

Таким образом, на интервалах (- и (1;+ функция возрастает, на интервале (0;1) убывает.

уmax = f(0) = 0, ymin = f(1)= -1.

7. Вычислим

у'' не обращается в нуль ни при каком значении х и у'' не существует при х=0. х=0 – критическая точка второго порядка. Нанесем критическую точку на числовую прямую и определим знаки второй производной в образовавшихся интервалах.

Таким образом, на интервалах ( и   график функции вогнутый, точек перегиба нет.

8. Заметим, что , то есть в точке (0;0) график имеет вертикальную касательную.

Пример: функция  возрастает в интервале ; функция  убывает на  и .

Область определения Е функции  называется симметричной относительно начала координат, если, каково бы ни было число х из Е, число (–х) тоже принадлежит этой области.

Функция , определенная в симметричной области, называется четной, если , и нечетной, если  

Пример: функция  - четная, т.к. , а функция  - нечетная, т.к. . Их сумма не является ни четной, ни нечетной (обычно говорят «функция общего вида»)

 

Примечание: график четной функции симметричен относительно оси ординат Оу, а график нечетной – относительно начала координат.

Функция  называется периодической, если существует такое положительное действительное число t, что для всех точек х и   из области определения функции имеет место равенство . При этом число t называют периодом функции. Положительный наименьший период, если он существует, называется основным периодом. Например, функции  и  имеют основной период, равный , а  и  - .

Пример: Даны две функции , . Они параметрически задают у как двузначную функцию х (и наоборот). Из первого уравнения находим: , так что . Подставляя во второе уравнение, получаем:  или , а это ни что иное, как уравнение окружности.

Пример: уравнение , представляющее эллипс, задает двузначную функцию . Для параметрического ее задания можно выразить одну из переменных, например х, как через переменную t. Положив , найдем . Знак можно выбрать произвольно. Получаем одно из параметрических заданий функции (если возьмем знак «+»): , .

2. Предел функции

 

Примеры:

1.

2.

Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, находим: , следовательно, величина  есть бесконечно малая при .

 3.

Применять теорему о пределе частного непосредственного нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю (при  в знаменателе стоит бесконечно малая величина). В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины на бесконечно большую при   (см. примечание). Поэтому .

Здесь также нельзя непосредственно применять теорему о пределе частного, т.к. пределы знаменателя и числителя равны нулю и мы имеем неопределенность вида . В подобных примерах числитель и знаменатель необходимо разложить на множители, сократить и затем перейти к пределу: .

 Следует заметить, что х стремится к нулю, но не равен, его предел равен нулю.

В этом примере также имеем неопределенность вида . Если под знаком предела имеется иррациональность, то для раскрытия неопределенности вида  необходимо перенести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель, а иногда и то и другое, полученную дробь сократить и перейти к пределу.

  6: .

При   переменная х есть бесконечно малая величина, а  при любых . Следовательно, величина  - произведение бесконечно малой на ограниченную величину – будет также бесконечно малой величиной, поэтому ее предел .

7.


Вычислить произведение матриц