Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная   непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (х0; f(х0)) является точкой перегиба графика функции.

Доказательство. Пусть, например, (х)< 0 в интервале (х0-e; х0) и > 0 в ин­тервале (х0; х0+e), где e – положительное число. В этом случае график функции в интервале (х0–ε; х0) выпуклый, а в интервале (х0; х0) – вогнутый. Следовательно, точка (х0; f(х0)) по определению является точкой перегиба.

Теорема 7. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть функция y = f(x) имеет в интервале (a, b) непрерывную вторую производную f''(x) и пусть точка х0 (a, b) является абсциссой точки перегиба графика данной функции. тогда f''(x0) = 0.

Доказательство. Предположим противное: f''(x0) 0, например, для определенности f''(x0)>0. Тогда в силу непрерывности f''(x0)>0 в некоторой окрестности точки х0. Следовательно, в этой окрестности график вогнутый, но это противоречит тому, что х0 – абсцисса точки перегиба. Противоречие доказывает теорему.

Замечание. Могут встретиться случаи, когда в точке х0 вторая производная непрерывной функции не существует, однако точка является абсциссой точки перегиба. Например, для функции у =   у'' = 10/(9 ) у''(0) не существует. Очевидно, что у''<0 при х (-∞;0) и у''>0 при х (0;+∞), то есть точка (0; 0) является точкой перегиба.

Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции второго порядка. Как мы отметили, не все такие точки являются абсциссами точек перегиба.

Пример. Определить область существования функции .

Решение: Функция определена, если , Таким образом, область существования функции представляет собой совокупность двух интервалов:  и .

Если уравнение  может быть однозначно разрешено относительно переменного х, т.е. существует функция , такая, что , то функция , или в стандартных обозначениях , называется обратной по отношению к . Очевидно, что , т.е. функции  и  являются взаимно обратными.

В общем случае уравнение  определяет многозначную обратную функцию  такую, что , для всех у, являющихся значениями функции .

Пример. Для функции  определить обратную.

Решение: , или , прологарифмировав, получаем:

 

 

Частное значение функции  в точке , т.е. ее значение при  обозначают символом .

Например: Если , то ,  и т.д.

Если функция задана одной или несколькими формулами, то говорят, что она задана аналитическим способом.

Функцию можно задать также при помощи графика (графический способ) или при помощи таблицы (табличный способ). Множество точек (х,у) плоскости ХОУ, координаты которых связаны уравнением , называется графиком функции.

Основными элементарными функциями называются следующие:

1)степенная функция , где  – любое действительное число;

2)показательная функция , ;

3)логарифмическая функция , ;

4)тригонометрическая функция , ,  а также , , .

Функция называется сложной, если ее аргумент в свою очередь есть функция от другой переменной. Пусть , и , тогда  есть сложная функция или функция от функции. Например, , , тогда ; , , тогда .

Функция, заданная уравнением , не разрешенным относительно зависимой переменной, называется неявной. Например, уравнение  определяет у как неявную функцию от х.

Одно и то же уравнение может задавать неявно не одну, а несколько функций. Например, уравнение  задает неявно две функции  и , определенные на множестве .

Часто бывает полезно (например, при изучении неявных функций) функциональную зависимость между несколькими переменными выражать через вспомогательные переменные – параметры (в физике и механике – обычно «время»). Выражение переменных через параметры называют параметрическим заданием функциональной зависимости. Пусть даны две функции аргумента t:, , тогда одна из них есть функция другой (как правило, она многозначна даже при однозначности ).

 Функция у от х называется элементарной, если ее можно задать одной формулой вида   для всех х из области ее определения так, что каждое ее значение может быть получено из постоянных чисел и значения независимой переменной при помощи конечного числа элементарных операций.


Вычислить произведение матриц