Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Выпуклость и вогнутость графика функции

Точки перегиба

График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а,b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая ее выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 5. (достаточный признак выпуклости и вогнутости). Пусть функция у = f(x) имеет вторую производную (x) во всех точках интервала (а, b). Если во всех точках этого интервала < 0, то график в (а, b) выпуклый; если же > 0 – вогнутый.

Доказательство. Допустим для определенности, что< 0 и докажем, что гра­фик выпуклый. Возьмем на графике функции произвольную точку М0 с абсциссой х0Î (а, b) и проведем через точку М0 касательную. Для доказательства теоремы нужно показать, что для одной и той же абсциссы x ордината кривой меньше ординаты касательной. Это будет означать, что график функции нахо­дится ниже касательной. Уравнение касательной в точке М0 имеет вид У – f (х0) = f (х0).(х-х0). Здесь через У обозначена ордината касательной, соот­ветствующая абсциссе x. Обратные тригонометрические функции математика решение задач

Разность ординат графика и касательной при одной и той же абсциссе x равна

или

Применяя к разности f(х) -f(х0) формулу Лагранжа, получаем

  где c заключено между х и х0.

К разности тоже применим формулу Лагранжа, получим

, где c1 заключено между х0 и c, а, следовательно, между х0 и х. По условию (x)< 0 в интервале (а; b),значит (c1)< 0. Разности х- х0 и c – х0 одного знака, так как c заключено между х0 и х, значит (х- х0)(c – х0)> 0.

Поэтому у – У < 0 или у <У. Мы доказали, что для любой точки x интервала (а, b) ордината касательной больше ординаты графика, то есть график выпуклый. Аналогично доказывается, что при > 0 график вогнутый.

Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

Производной первого порядка непрерывной функции  в точке х называется предел отношения приращения функции  к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю:

  

Если такой конечный предел в точке х существует, то функция называется дифференцируемой в точке х.

Обозначения производной:  , , , .

Нахождение производной называют дифференцированием функции.

Значение производной функции  в точке  обозначают .

Дифференциалом dx независимой переменной х называют её приращение .

Дифференциалом  называется .

Касательной к графику функции y=f(x) в точке М(x0,y0) называют предельное положение секущей ММ1 при произвольном стремлении точки М1 к точке М (иначе: ).

Уравнение касательной имеет вид: y-y0 = k(x-x0), где угловой коэффициент касательной , т.е. .

Угол a между положительным направлением оси Ох и касательной отсчитывают против часовой стрелки.

Если , то касательная к графику непрерывной функции f(x) будет перпендикулярна оси Ох и имеет вид х = х0.

Если , то касательная параллельна оси Ох.

Уравнение нормали (перпендикуляр к касательной в точке М(х0,у0)  имеет вид: .

Если , то уравнение нормали имеет вид у=у0.

Если , то  будет перпендикулярна оси Ох и ее уравнение будет у=х0.

Под углом между кривыми  и  в их общей точке М(х0,у0) понимается угол , между касательными М0А и М0В к этим кривым в точке М0.

По известной формуле аналитической геометрии получаем: .

Замечание: если в точке х0 существует конечная производная, то функция непрерывна в этой точке. Обратное предложение не всегда справедливо.

Например, функция   в точке х=0 непрерывна, т.к. приращение функции  и в точке х=0 , стало быть, при  и , а производной в этой точке функция не имеет. Убедимся в этом:

, , т.е. и производной в этой точке функция не имеет.

Если существуют односторонние пределы

  и ,

не равные между собой, то говорят, что существуют односторонние производные функции в точке х0, а точку х0 называют угловой точкой графика функции. В приведенном примере односторонние производные (справа и слева) в точке х = 0 существуют.

Основные правила дифференцирования

а)

б)

в)

г)

д) ,

где с=const, u, v и w- дифференцируемые функции.


Вычислить произведение матриц