Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Теорема . (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положи­тельную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].

Доказательство. Пусть >0 для всех хÎ (а,b). Рассмотрим два произвольных значения x2 > x1, принадлежащих [а, b]. по формуле Лагранжа   х1<с < х2.(с) > 0 и х2 – х1 > 0, поэтому >0, откуда >, то есть функция f(х) возрастает на отрезке [а, b]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке c функция у = f(х) имеет в этой точке экстремум, то .

Доказательство. Пусть, например, функция у = f(х) имеет в точке c максимум. Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки c, что для всех точек x этой окрестности выполняется f(x) < f(c), то есть f (c) – наибольшее зна­чение функции в этой окрестности. Тогда по теореме Ферма .

Аналогично доказывается случай минимума в точке c.

Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, в которой ее производная не существует. Например, функция   имеет минимум в точке x = 0, хотя не существует. Точки, в которых производная функции равна нулю или не сущест­вует, называются критическими точками функции. Однако не во всех критиче­ских точках функция имеет экстремум. Например, функция у = x3 не имеет экс­тремумов, хотя ее производная = 0. Квадратный трехчлен математика решение задач

Теорема 4. (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f(x) имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку С (за исключением, может быть, самой этой точки), и если производная   при переходе аргумента слева направо через критическую точку С меняет знак с плюса на минус, то функция в точке С имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.

Доказательство. Пусть c – критическая точка и пусть, например, при переходе аргумента через точку c   меняет знак с плюса на минус. Это означает, что на некотором интервале (ce; cфункция возрастает, а на интервале (c; c+e– убывает (при e >0). Следовательно, в точкес функция имеет максимум. Аналогично доказывается случай минимума.

Замечание. Если производная   не меняет знака при переходе аргумента через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума.

Пример: Для функции  имеем

 , однако

 .

 Следовательно, точка х = 2 является точкой устранимого разрыва функции .

Примечание: Термин «устранимый разрыв» оправдан тем, что достаточно доопределить или переопределить (пополнить) функцию в точке. В рассмотренном примере нужно положить в , тогда функция

 является непрерывной в точке .

Пример: Для функции  точка х = 0 является точкой разрыва,

т.к. в этой точке функция не определена ( не существует). При этом , . Следовательно, точка  является точкой разрыва первого рода, а  - скачок данной функции

(т.е. если мы пополним эту функцию какой-то одной точкой, она все равно останется разрывной).

Замечание: Функция n переменных  может иметь не только изолированные точки разрыва, а целые множества разрывов (линии, поверхности), например, функция  имеет разрыв во всех точках параболы  и во всех точках прямой .

Пример: Исследовать на непрерывность и построить график следующей функции:

 Функция   не является элементарной, определена на всем множестве действительных чисел, тремя разными формулами на различных промежутках изменения аргумента.

Исследуем на непрерывность точки  и : ; .

По условию , следовательно , т.е. функция  непрерывна в точке .

, , т.е. в точке х = 0 функция имеет разрыв второго рода. В остальных точках числовой оси функция непрерывна.


Вычислить произведение матриц