Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Применение производной к исследованию функций

Интервалы монотонности. Экстремумы

Функция у = f (х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых значений x2>x1 этого промежутка выполняется условие f(x2) > f(x1)(f (x2) < f (x1)).

Функция у = f(х) имеет максимум (минимум) в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x, принадлежащих этой окрестности, выпол­няется условие f(х) < f(х0) (f (х) > f(х0), х¹ х0.

Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами.

Интервал, на котором функция возрастает или убывает, называется интервалом монотонности функции. Тройные и двойные интегралы при решении задач Интегрирование по частям

Теорема 1. (необходимое условие монотонности функции). Если дифференцируе­мая в интервале (а, b) функция у = f (х) возрастает (убывает) на этом интервале, то ее производная в каждой точке (а, b) .

Доказательство. Пусть у = f (х) – дифференцируема и возрастает на (а, b). Пусть точки х и х+х принадлежат (а, b). Если >0, то f(x+) > f(x); если <0, то f (x+ ) < f(x). В обоих случаях > 0. Переходя к пределу в последнем неравенстве при 0 и учитывая, что функция дифференцируема, получаем .

Аналогично доказывается теорема в случае убывающей функции. Рекомендуем сделать это самостоятельно.

Пример: Найти односторонние пределы следующих функций:

1)   при .

 


, , отсюда видно, что если , то .

 

 .

Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке   не существует.

2) , () при .

, т.к.

, т.к. .

Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке   не существует.

Функция   непрерывна в точке , если она определена в окрестности этой точки и существует предел  

Отсюда следует, что  или , т.е. если функция непрерывна в точке , то бесконечно малому приращению аргумента  в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции .

 


 Справедливо и обратное утверждение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна, т.к. в этом случае из соотношения (5) следует предел (4). Следовательно, для того, чтобы функция  была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы ее приращение  в этой точке стремилось к нулю вместе с приращением аргумента .

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция, непрерывная в каждой точке своей области определения, непрерывна и во всей этой области.

Если две функции  и  непрерывны в точке , то в этой же точке непрерывны и функции ; ;  (если ).

Если функция  непрерывна в интервале , а сложная функция  непрерывна на множестве значений функции  в интервале (А,В), то  непрерывна в интервале .

Если условие непрерывности функции в точке  не выполнено, то функция имеет разрыв в этой точке.

Говорят, что функция  имеет разрыв в точке  первого рода, если существуют конечные пределы  и , причем

1.Если , то  называется неустранимой точкой разрыва.

2.Если ,   называется устранимой точкой разрыва, если   существует.

Функция  имеет в точке  разрыв второго рода, если хотя бы одних из односторонних пределов функции в этой точке не существует, либо равен бесконечности.

Если , то разность  называется скачком функции в точке  (разрыв второго рода – неустранимый).


Вычислить произведение матриц