Emporio Armani мужские    часы

Фотокамеры Nikon

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Применение производной к исследованию функций

Интервалы монотонности. Экстремумы

Функция у = f (х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых значений x2>x1 этого промежутка выполняется условие f(x2) > f(x1)(f (x2) < f (x1)).

Функция у = f(х) имеет максимум (минимум) в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x, принадлежащих этой окрестности, выпол­няется условие f(х) < f(х0) (f (х) > f(х0), х¹ х0.

Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами.

Интервал, на котором функция возрастает или убывает, называется интервалом монотонности функции. Тройные и двойные интегралы при решении задач Интегрирование по частям

Теорема 1. (необходимое условие монотонности функции). Если дифференцируе­мая в интервале (а, b) функция у = f (х) возрастает (убывает) на этом интервале, то ее производная в каждой точке (а, b) .

Доказательство. Пусть у = f (х) – дифференцируема и возрастает на (а, b). Пусть точки х и х+х принадлежат (а, b). Если >0, то f(x+) > f(x); если <0, то f (x+ ) < f(x). В обоих случаях > 0. Переходя к пределу в последнем неравенстве при 0 и учитывая, что функция дифференцируема, получаем .

Аналогично доказывается теорема в случае убывающей функции. Рекомендуем сделать это самостоятельно.

Пример: Найти односторонние пределы следующих функций:

1)   при .

 


, , отсюда видно, что если , то .

 

 .

Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке   не существует.

2) , () при .

, т.к.

, т.к. .

Пределы оказались неравными, следовательно, предела функции в точке   не существует.

Функция   непрерывна в точке , если она определена в окрестности этой точки и существует предел  

Отсюда следует, что  или , т.е. если функция непрерывна в точке , то бесконечно малому приращению аргумента  в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции .

 


 Справедливо и обратное утверждение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна, т.к. в этом случае из соотношения (5) следует предел (4). Следовательно, для того, чтобы функция  была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы ее приращение  в этой точке стремилось к нулю вместе с приращением аргумента .

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция, непрерывная в каждой точке своей области определения, непрерывна и во всей этой области.

Если две функции  и  непрерывны в точке , то в этой же точке непрерывны и функции ; ;  (если ).

Если функция  непрерывна в интервале , а сложная функция  непрерывна на множестве значений функции  в интервале (А,В), то  непрерывна в интервале .

Если условие непрерывности функции в точке  не выполнено, то функция имеет разрыв в этой точке.

Говорят, что функция  имеет разрыв в точке  первого рода, если существуют конечные пределы  и , причем

1.Если , то  называется неустранимой точкой разрыва.

2.Если ,   называется устранимой точкой разрыва, если   существует.

Функция  имеет в точке  разрыв второго рода, если хотя бы одних из односторонних пределов функции в этой точке не существует, либо равен бесконечности.

Если , то разность  называется скачком функции в точке  (разрыв второго рода – неустранимый).


Вычислить произведение матриц