Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Теорема (о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть аргумент х получает в точке х0 приращение ¹ 0. Ему соответствует некоторое приращение функции . Вычислим предел:

а это и означает непрерывность функции в точке х0.

Заметим, что обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не дифференцируемы. Примерами могут слу­жить функции у = çх çи в точке х = 0. В обоих случаях (0) не существует.

Заметим, что график у = çх çв точке х = 0 не имеет касательной, а график в точке х=0 имеет вертикальную касательную – ось Оу.

Можно показать, что для того, чтобы функция у = f(x) была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы ее график имел невертикаль­ную касательную в точке (х0, f(х0)).

Задача 9. Построить график функции

и указать ее точки разрыва.

Решение. При каждом фиксированном  последовательность  есть эталонная типа . Её поведение зависит от величины , а именно: при  – это бесконечно малая последовательность, а при  – бесконечно большая. Таким образом, для , т.е. для , имеем:

Далее, пусть , т.е. . Тогда

(очевидно, что, если , то  и ). Остается рассмотреть случай , т.е. . В этом случае

{предел постоянной равен ей самой}. Итак, окончательно имеем:

График имеет вид

Ответ: Функция непрерывна всюду, за исключением точек , в которых она имеет разрыв 1го рода.


Вычислить произведение матриц