Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Теорема Коши

 Если функции f (х) и (х) непрерывны на отрезке [а, b] и дифференцируемы в интервале (а, b), причем , то существует точка сÎ (а, b) такая, что

 

Доказательство. Рассмотрим функцию

F(х) = [f(х)-f(а)] – . [(х)-(а)].

Легко проверить, что эта функция удовлетворяет теореме Ролля (аналогично тому, как это было сделано в предыдущей теореме). Следовательно, существует точка сÎ (a, b.) такая, что .

Отсюда получаем утверждение теоремы.

Замечание.

Равенства   и

  называются соответственно формулами Лагранжа и Коши.

Задача 1.11. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, определить их характер.

Решение

При  функция не определена:

,

Следовательно, при  функция имеет разрыв второго рода.

Задача 2.1. Вычислить производную

Решение

Задача 2.2. Вычислить производную

Решение

Задача 2.3. Вычислить производную

Решение

Задача 2.4. Вычислить производную

Решение

 


Вычислить произведение матриц