Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Теорема Лагранжа

  Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует хотя бы одна точка сÎ(a, b), для которой выполняется условие: .

Доказательство. Составим уравнение хорды АВ, соединяющей точки графика функции A(a; f(a)) и B(b; f(b)):

.

Отсюда ордината хорды у=. Рассмотрим функцию . Функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), так как функция f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на интервале (a,b).   . Таким образом, функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка сÎ(a, b), что , откуда получаем утверждение теоремы. Геометрически теорема Лагранжа означает, что существует хотя бы одна точка сÎ (а, b) такая, что касательная, проведенная к графику функции в точке (с; f (с)), параллельна хорде АВ.

Задача 1.8. Вычислить предел функции.

Используем эквивалентности бесконечно малых величин при :

~x, и формулу. Тогда получим: 

Задача 1.9. Вычислить предел функции.

Используем эквивалентности бесконечно малых величин при : ~x и ~x

Задача 1.10. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва, определить их характер и построить график функции.

Решение

Построим график заданной функции:

Функция определена на всём множестве чисел и неэлементарная.

Каждая из составляющих функций непрерывна на своём промежутке; заданная функция может иметь точки разрыва только в точках смены аналитических выражений, то есть в точках  и .

Исследуем поведение функции в этих точках: найдём значение функции в этих точках и пределы справа и слева,

, . Так как , Следовательно функция в этой точке непрерывна

, . Так как , то в этой точке функция имеет разрыв 1-го рода – скачок


Вычислить произведение матриц