Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ферма
Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.
Доказательство. Пусть, например, f(с) = М – наибольшее значение
функции в интервале (а, в) и существует
f'(с). По определению производной
f'(с)=
. При любом знаке Dх f(c+Dx)-f(c)≤0, так как f(с) – наибольшее значение
функции в (а, в).
Если
Dх>0,
то 
и, следовательно, f'(с)≤0. Если же Dх<0,
то 
и f'(с) ≥0. Следовательно, f'(с)=0.
Геометрически теорема означает, что касательная, проведенная к графику функции в точке (с; f(с)), параллельна оси Ох.
Теорема Ролля
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b) = 0. Тогда ее производная f'(х) обращается в нуль хотя бы в одной точке сÎ( a, b).
Доказательство. По условию функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], поэтому она достигает на [a, b] своего наибольшего М и наименьшего m значений. Если М = m, то функция постоянна на [a, b] и ее производная f'(х) = 0 во всех точках (a, b). Пусть теперь М ¹ m, тогда хотя бы одно из этих чисел, например, m ¹ 0. Поэтому существует точка сÎ( a, b) такая, что f(с) = m. Следовательно, по теореме Ферма f'(с) = 0.
Геометрически теорема означает, что если функция y = f(x) удовлетворяет теореме Ролля, то найдется хотя бы одна точка (с; f(с)), где сÎ(a;b), такая, что касательная к графику функции, проведенная в этой точке, параллельна оси Ох.
Задача 14. Найти асимптоты графика функции
.
Решение. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты (правда, горизонтальные можно считать частным случаем наклонных).
Прямая 
является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов
функции в точке равен 
, т.е. вертикальные асимптоты проходят
через точки разрыва 2го рода. Данная функция является элементарной и единственной
точкой разрыва является точка 
, которая не принадлежит 
. Вычислим 
:
Правый
предел функции бесконечен, следовательно, прямая – вертикальная асимптота.
Далее,
прямая 
является горизонтальной асимптотой графика функции 
при 
, если существует конечный предел
Для упрощения вычисления пределов запишем данную функцию следующим образом:
При
вычислении пределов пользуемся эквивалентностью для степенной функции и тем фактом,
что 
. Имеем:
Итак,
прямая 
– горизонтальная асимптота при 
. При 
горизонтальной асимптоты нет, но может быть наклонная.
Прямая
является наклонной асимптотой
при , если существуют конечные
пределы
(Аналогичное
утверждение справедливо и для ). Для нашей функции имеем:
Итак,
прямая 
– наклонная асимптота графика данной функции при .
Ответ:
асимптотами графика функции являются прямые 
(при ) и (при ).