Вычисление производной примеры решения задач Применение производной к исследованию функций План исследования функции и построение графика Матрица Вычисление предела Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вычисление производной примеры решения задач

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма

Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.

Доказательство. Пусть, например, f(с) = М – наибольшее значение функции в интервале (а, в) и существует f'(с). По определению производной f'(с)=. При любом знаке Dх f(c+Dx)-f(c)0, так как f(с) – наибольшее значение функции в (а, в).

Если Dх>0, то   и, следовательно, f'(с)0. Если же Dх<0, то   и f'(с) ≥0. Следовательно, f'(с)=0.

Геометрически теорема означает, что касательная, проведенная к графику функции в точке (с; f(с)), параллельна оси Ох.

Теорема Ролля

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b) = 0. Тогда ее производная f'(х) обращается в нуль хотя бы в одной точке сÎ( a, b).

Доказательство. По условию функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], поэтому она достигает на [a, b] своего наибольшего М и наименьшего m значений. Если М = m, то функция постоянна на [a, b] и ее производная f'(х) = 0 во всех точках (a, b). Пусть теперь М ¹ m, тогда хотя бы одно из этих чисел, например, m ¹ 0. Поэтому существует точка сÎ( a, b) такая, что f(с) = m. Следовательно, по теореме Ферма f'(с) = 0.

Геометрически теорема означает, что если функция y = f(x) удовлетворяет теореме Ролля, то найдется хотя бы одна точка (с; f(с)), где сÎ(a;b), такая, что касательная к графику функции, проведенная в этой точке, параллельна оси Ох.

Задача 14. Найти асимптоты графика функции

.

Решение. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты (правда, горизонтальные можно считать частным случаем наклонных).

Прямая   является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке  равен , т.е. вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва 2го рода. Данная функция является элементарной и единственной точкой разрыва является точка , которая не принадлежит . Вычислим :

Правый предел функции бесконечен, следовательно, прямая  – вертикальная асимптота.

Далее, прямая  является горизонтальной асимптотой графика функции   при , если существует конечный предел

Для упрощения вычисления пределов запишем данную функцию следующим образом:

При вычислении пределов пользуемся эквивалентностью для степенной функции и тем фактом, что . Имеем:

Итак, прямая  – горизонтальная асимптота при . При  горизонтальной асимптоты нет, но может быть наклонная.

Прямая  является наклонной асимптотой при , если существуют конечные пределы

(Аналогичное утверждение справедливо и для ). Для нашей функции имеем:

Итак, прямая  – наклонная асимптота графика данной функции при .

Ответ: асимптотами графика функции являются прямые   (при ) и  (при ).


Вычислить произведение матриц